Каковы решения следующих задач по геометрии?

1. Осевым сечением конуса является равносторонний треугольник со стороной 8 см. Каков радиус основания конуса?
2. Какой объем конуса, если его осевое сечение является равносторонним треугольником со стороной 2 см?
3. В шаре на расстоянии 4 см от центра проведено сечение, площадь которого равна 9л см². Каков объем шара?
4. Высота цилиндра равна 6 см, а радиус его основания - 5 см. Какова площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра, если она удалена от оси цилиндра на расстоянии 4 см?

Геометрия 11 класс Объемы и площади сечений тел вращения геометрия 11 класс задачи по геометрии осевое сечение конуса объем конуса радиус основания конуса площадь сечения цилиндра объем шара высота цилиндра радиус основания цилиндра равносторонний треугольник Новый

Давайте разберем каждую из задач по очереди.

Задача 1: Осевым сечением конуса является равносторонний треугольник со стороной 8 см. Каков радиус основания конуса?

1. Сначала найдем высоту равностороннего треугольника. Формула для высоты h равностороннего треугольника со стороной a:
• h = (sqrt(3) / 2) * a
2. Подставим a = 8 см:
• h = (sqrt(3) / 2) * 8 = 4 * sqrt(3) см.
3. Теперь, чтобы найти радиус основания конуса, воспользуемся тем, что радиус r равен половине длины стороны треугольника:
• r = a / (2 * sqrt(3)) * h = 8 / (2 * sqrt(3)) * 4 * sqrt(3) = 16 см.

Таким образом, радиус основания конуса равен 16 см.

Задача 2: Какой объем конуса, если его осевое сечение является равносторонним треугольником со стороной 2 см?

1. Сначала найдем высоту равностороннего треугольника со стороной 2 см:
• h = (sqrt(3) / 2) * 2 = sqrt(3) см.
2. Радиус основания r будет равен половине стороны треугольника:
• r = 2 / 2 = 1 см.
3. Теперь можем найти объем V конуса по формуле:
• V = (1/3) * π * r^2 * h = (1/3) * π * (1^2) * sqrt(3) = (1/3) * π * sqrt(3) см³.

Объем конуса равен (1/3) * π * sqrt(3) см³.

Задача 3: В шаре на расстоянии 4 см от центра проведено сечение, площадь которого равна 9π см². Каков объем шара?

1. Сначала найдем радиус сечения R с помощью формулы площади круга:
• Площадь = πR^2, где R - радиус сечения.
• 9π = πR^2, следовательно, R^2 = 9, R = 3 см.
2. Теперь, используя теорему Пифагора, найдем радиус шара r:
• r^2 = 4^2 + R^2 = 16 + 9 = 25, r = 5 см.
3. Теперь можно найти объем V шара по формуле:
• V = (4/3) * π * r^3 = (4/3) * π * (5^3) = (4/3) * π * 125 = (500/3)π см³.

Таким образом, объем шара равен (500/3)π см³.

Задача 4: Высота цилиндра равна 6 см, а радиус его основания - 5 см. Какова площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра, если она удалена от оси цилиндра на расстоянии 4 см?

1. Поскольку плоскость параллельна оси цилиндра, сечение будет также кругом. Радиус этого круга можно найти, используя теорему Пифагора:
• r' = sqrt(R^2 - d^2), где R - радиус основания цилиндра, d - расстояние от оси цилиндра до плоскости.
2. Подставляем значения:
• r' = sqrt(5^2 - 4^2) = sqrt(25 - 16) = sqrt(9) = 3 см.
3. Теперь найдем площадь сечения S:
• S = π * (r')^2 = π * (3^2) = 9π см².

Таким образом, площадь сечения цилиндра равна 9π см².