Давайте разберем каждую из задач по очереди.

Задача 1: Осевым сечением конуса является равносторонний треугольник со стороной 8 см. Каков радиус основания конуса?

1. Сначала найдем высоту равностороннего треугольника. Формула для высоты h равностороннего треугольника со стороной a:
• h = (sqrt(3) / 2) * a
2. Подставим a = 8 см:
• h = (sqrt(3) / 2) * 8 = 4 * sqrt(3) см.
3. Теперь, чтобы найти радиус основания конуса, воспользуемся тем, что радиус r равен половине длины стороны треугольника:
• r = a / (2 * sqrt(3)) * h = 8 / (2 * sqrt(3)) * 4 * sqrt(3) = 16 см.

Таким образом, радиус основания конуса равен 16 см.

Задача 2: Какой объем конуса, если его осевое сечение является равносторонним треугольником со стороной 2 см?

1. Сначала найдем высоту равностороннего треугольника со стороной 2 см:
• h = (sqrt(3) / 2) * 2 = sqrt(3) см.
2. Радиус основания r будет равен половине стороны треугольника:
• r = 2 / 2 = 1 см.
3. Теперь можем найти объем V конуса по формуле:
• V = (1/3) * π * r^2 * h = (1/3) * π * (1^2) * sqrt(3) = (1/3) * π * sqrt(3) см³.

Объем конуса равен (1/3) * π * sqrt(3) см³.

Задача 3: В шаре на расстоянии 4 см от центра проведено сечение, площадь которого равна 9π см². Каков объем шара?

1. Сначала найдем радиус сечения R с помощью формулы площади круга:
• Площадь = πR^2, где R - радиус сечения.
• 9π = πR^2, следовательно, R^2 = 9, R = 3 см.
2. Теперь, используя теорему Пифагора, найдем радиус шара r:
• r^2 = 4^2 + R^2 = 16 + 9 = 25, r = 5 см.
3. Теперь можно найти объем V шара по формуле:
• V = (4/3) * π * r^3 = (4/3) * π * (5^3) = (4/3) * π * 125 = (500/3)π см³.

Таким образом, объем шара равен (500/3)π см³.

Задача 4: Высота цилиндра равна 6 см, а радиус его основания - 5 см. Какова площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра, если она удалена от оси цилиндра на расстоянии 4 см?

1. Поскольку плоскость параллельна оси цилиндра, сечение будет также кругом. Радиус этого круга можно найти, используя теорему Пифагора:
• r' = sqrt(R^2 - d^2), где R - радиус основания цилиндра, d - расстояние от оси цилиндра до плоскости.
2. Подставляем значения:
• r' = sqrt(5^2 - 4^2) = sqrt(25 - 16) = sqrt(9) = 3 см.
3. Теперь найдем площадь сечения S:
• S = π * (r')^2 = π * (3^2) = 9π см².

Таким образом, площадь сечения цилиндра равна 9π см².