Каковы решения следующих задач по геометрии:

1. Вычислите площадь поверхности шара, если площадь большого круга равна 3П см².
2. Какой объем куба, описанного вокруг шара радиусом 1 см?
3. Каков объем прямой треугольной призмы, если ребра основания равны 9 см, 10 см и 10 см, а боковое ребро равно 10 см?
4. Какой радиус металлического шара получится в результате переплавки цилиндра с высотой 9 см и радиусом 2 см, пренебрегая потерями металла?

Геометрия 11 класс Объемы и площади фигур в пространстве площадь поверхности шара объем куба объём призмы радиус металлического шара задачи по геометрии Новый

Давайте подробно разберем каждую из предложенных задач по геометрии.

1. Вычислите площадь поверхности шара, если площадь большого круга равна 3П см².

• Сначала вспомним, что площадь большого круга шара равна ПR², где R - радиус шара.
• Из условия задачи мы знаем, что ПR² = 3П см². Упростим это уравнение: R² = 3.
• Теперь найдем радиус: R = √3 см.
• Теперь мы можем найти площадь поверхности шара по формуле: 4ПR².
• Подставим значение радиуса: 4П(√3)² = 4П * 3 = 12П см².

Таким образом, площадь поверхности шара равна 12П см².

2. Какой объем куба, описанного вокруг шара радиусом 1 см?

• Объем куба можно найти по формуле V = a³, где a - длина ребра куба.
• Если куб описан вокруг шара, то радиус шара равен половине длины ребра куба: R = a/2.
• В нашем случае R = 1 см, значит a = 2R = 2 * 1 = 2 см.
• Теперь подставим значение a в формулу для объема: V = 2³ = 8 см³.

Таким образом, объем куба равен 8 см³.

3. Каков объем прямой треугольной призмы, если ребра основания равны 9 см, 10 см и 10 см, а боковое ребро равно 10 см?

• Сначала найдем площадь основания призмы. Поскольку основание является треугольником с ребрами 9 см, 10 см и 10 см, мы можем использовать формулу Герона для вычисления площади.
• Находим полупериметр: p = (9 + 10 + 10) / 2 = 14.5 см.
• Теперь применяем формулу Герона: S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)), где a, b, c - стороны треугольника.
• Подставляем значения: S = √(14.5(14.5-9)(14.5-10)(14.5-10)) = √(14.5 * 5.5 * 4.5 * 4.5).
• Вычисляем: S ≈ 39.5 см² (можно использовать калькулятор для точного значения).
• Теперь найдем объем призмы: V = S * h, где h - высота призмы. В нашем случае h = 10 см.
• Подставляем: V ≈ 39.5 * 10 = 395 см³.

Таким образом, объем прямой треугольной призмы равен приблизительно 395 см³.

4. Какой радиус металлического шара получится в результате переплавки цилиндра с высотой 9 см и радиусом 2 см, пренебрегая потерями металла?

• Сначала найдем объем цилиндра по формуле: V = ПR²h, где R - радиус основания, h - высота.
• Подставляем значения: V = П(2)²(9) = П * 4 * 9 = 36П см³.
• Теперь мы знаем, что этот объем будет равен объему нового шара: V = (4/3)ПR³.
• Приравняем объемы: 36П = (4/3)ПR³.
• Сократим П: 36 = (4/3)R³.
• Умножим обе стороны на 3/4: R³ = 36 * (3/4) = 27.
• Теперь найдем радиус: R = ∛27 = 3 см.

Таким образом, радиус металлического шара, полученного в результате переплавки, равен 3 см.