Давайте подробно разберем каждую из предложенных задач по геометрии.

1. Вычислите площадь поверхности шара, если площадь большого круга равна 3П см².

• Сначала вспомним, что площадь большого круга шара равна ПR², где R - радиус шара.
• Из условия задачи мы знаем, что ПR² = 3П см². Упростим это уравнение: R² = 3.
• Теперь найдем радиус: R = √3 см.
• Теперь мы можем найти площадь поверхности шара по формуле: 4ПR².
• Подставим значение радиуса: 4П(√3)² = 4П * 3 = 12П см².

Таким образом, площадь поверхности шара равна 12П см².

2. Какой объем куба, описанного вокруг шара радиусом 1 см?

• Объем куба можно найти по формуле V = a³, где a - длина ребра куба.
• Если куб описан вокруг шара, то радиус шара равен половине длины ребра куба: R = a/2.
• В нашем случае R = 1 см, значит a = 2R = 2 * 1 = 2 см.
• Теперь подставим значение a в формулу для объема: V = 2³ = 8 см³.

Таким образом, объем куба равен 8 см³.

3. Каков объем прямой треугольной призмы, если ребра основания равны 9 см, 10 см и 10 см, а боковое ребро равно 10 см?

• Сначала найдем площадь основания призмы. Поскольку основание является треугольником с ребрами 9 см, 10 см и 10 см, мы можем использовать формулу Герона для вычисления площади.
• Находим полупериметр: p = (9 + 10 + 10) / 2 = 14.5 см.
• Теперь применяем формулу Герона: S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)), где a, b, c - стороны треугольника.
• Подставляем значения: S = √(14.5(14.5-9)(14.5-10)(14.5-10)) = √(14.5 * 5.5 * 4.5 * 4.5).
• Вычисляем: S ≈ 39.5 см² (можно использовать калькулятор для точного значения).
• Теперь найдем объем призмы: V = S * h, где h - высота призмы. В нашем случае h = 10 см.
• Подставляем: V ≈ 39.5 * 10 = 395 см³.

Таким образом, объем прямой треугольной призмы равен приблизительно 395 см³.

4. Какой радиус металлического шара получится в результате переплавки цилиндра с высотой 9 см и радиусом 2 см, пренебрегая потерями металла?

• Сначала найдем объем цилиндра по формуле: V = ПR²h, где R - радиус основания, h - высота.
• Подставляем значения: V = П(2)²(9) = П * 4 * 9 = 36П см³.
• Теперь мы знаем, что этот объем будет равен объему нового шара: V = (4/3)ПR³.
• Приравняем объемы: 36П = (4/3)ПR³.
• Сократим П: 36 = (4/3)R³.
• Умножим обе стороны на 3/4: R³ = 36 * (3/4) = 27.
• Теперь найдем радиус: R = ∛27 = 3 см.

Таким образом, радиус металлического шара, полученного в результате переплавки, равен 3 см.