2025-09-10 13:01:52
Каковы стороны параллелограмма, если его диагонали равны 7 см и 11 см, а периметр составляет 26 см?
Каков периметр прямоугольника, если биссектриса угла делит сторону в отношении 3:1, начиная от ближайшей вершины, а диагональ равна 50 см?
Геометрия 11 класс Параллелограммы и прямоугольники стороны параллелограмма диагонали параллелограмма периметр параллелограмма периметр прямоугольника биссектрисы угла диагональ прямоугольника
2025-09-10 13:02:16
Чтобы найти стороны параллелограмма, нам нужно использовать известные свойства диагоналей и периметра. В параллелограмме диагонали делят друг друга пополам и могут быть связаны со сторонами через теорему о диагоналях.
Шаги решения:
- Обозначим стороны параллелограмма как a и b. Периметр P параллелограмма равен 2(a + b). У нас есть уравнение:
- P = 2(a + b) = 26 см
- Следовательно, a + b = 13 см.
- Теперь используем формулу для диагоналей параллелограмма. Если d1 и d2 - длины диагоналей, то:
- d1^2 + d2^2 = 2(a^2 + b^2).
- Подставим известные значения диагоналей:
- 7^2 + 11^2 = 2(a^2 + b^2).
- 49 + 121 = 2(a^2 + b^2).
- 170 = 2(a^2 + b^2).
- Следовательно, a^2 + b^2 = 85.
- Теперь у нас есть система уравнений:
- 1) a + b = 13
- 2) a^2 + b^2 = 85
- Из первого уравнения выразим b через a:
- b = 13 - a.
- Подставим это выражение во второе уравнение:
- a^2 + (13 - a)^2 = 85.
- a^2 + (169 - 26a + a^2) = 85.
- 2a^2 - 26a + 169 - 85 = 0.
- 2a^2 - 26a + 84 = 0.
- a^2 - 13a + 42 = 0.
- Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
- D = (-13)^2 - 4*1*42 = 169 - 168 = 1.
- a = (13 ± √1) / 2 = (13 ± 1) / 2.
- Таким образом, a = 7 см или a = 6 см.
- Если a = 7, то b = 6, если a = 6, то b = 7. Стороны параллелограмма: 6 см и 7 см.
Теперь найдем периметр прямоугольника:
У нас есть биссектриса, которая делит одну из сторон в отношении 3:1. Обозначим сторону, которую делит биссектриса, как AB, и пусть точка деления будет M.
Шаги решения:
- Пусть длина стороны AB равна x. Тогда AM = (3/4)x и MB = (1/4)x.
- По теореме о биссектрисе, отношение сторон, прилежащих к углу, равно отношению отрезков, на которые делит биссектрису:
- AC/BC = AM/MB = 3/1.
- Пусть AC = 3k и BC = k для некоторого k.
- Теперь используем теорему Пифагора, чтобы связать стороны и диагональ:
- (3k)^2 + k^2 = 50^2.
- 9k^2 + k^2 = 2500.
- 10k^2 = 2500.
- k^2 = 250.
- k = √250 = 5√10.
- Теперь найдем стороны:
- AC = 3k = 15√10,
- BC = k = 5√10.
- Периметр прямоугольника P = 2(AC + BC) = 2(15√10 + 5√10) = 2(20√10) = 40√10 см.
- Таким образом, периметр прямоугольника составляет 40√10 см.