Чтобы найти углы четырёхугольника, пропорциональные числам 2, 3, 10 и 21, начнём с того, что сумма углов любого четырёхугольника равна 360 градусам.

Шаг 1: Определим пропорции углов.

• Обозначим углы четырёхугольника как 2x, 3x, 10x и 21x.

Шаг 2: Запишем уравнение для суммы углов.

• Сумма углов: 2x + 3x + 10x + 21x = 360.
• Это упростится до: 36x = 360.

Шаг 3: Найдём значение x.

• Разделим обе стороны на 36: x = 10.

Шаг 4: Найдём углы.

• Теперь подставим x в выражения для углов:
• Первый угол: 2x = 2 * 10 = 20 градусов.
• Второй угол: 3x = 3 * 10 = 30 градусов.
• Третий угол: 10x = 10 * 10 = 100 градусов.
• Четвёртый угол: 21x = 21 * 10 = 210 градусов.

Шаг 5: Проверим выпуклость четырёхугольника.

• Для того чтобы четырёхугольник был выпуклым, все его углы должны быть меньше 180 градусов.
• В нашем случае один угол равен 210 градусам, что больше 180 градусов.
• Следовательно, четырёхугольник не является выпуклым.

Теперь рассмотрим второй случай:

Углы четырёхугольника пропорциональны числам 4, 5 и 7, а четвёртый угол равен их полусумме.

Шаг 1: Определим углы.

• Обозначим углы как 4y, 5y, 7y и четвертый угол как (4y + 5y + 7y) / 2.

Шаг 2: Запишем уравнение для суммы углов.

• Сумма углов: 4y + 5y + 7y + (4y + 5y + 7y) / 2 = 360.

Шаг 3: Упростим уравнение.

• Сначала найдем сумму первых трёх углов: 16y.
• Четвёртый угол: (16y) / 2 = 8y.
• Теперь у нас есть: 16y + 8y = 360.
• Это упростится до: 24y = 360.

Шаг 4: Найдём значение y.

• Разделим обе стороны на 24: y = 15.

Шаг 5: Найдём углы.

• Теперь подставим y в выражения для углов:
• Первый угол: 4y = 4 * 15 = 60 градусов.
• Второй угол: 5y = 5 * 15 = 75 градусов.
• Третий угол: 7y = 7 * 15 = 105 градусов.
• Четвёртый угол: (4y + 5y + 7y) / 2 = 8y = 8 * 15 = 120 градусов.

Шаг 6: Проверим выпуклость четырёхугольника.

• Все углы: 60, 75, 105 и 120 градусов.
• Все углы меньше 180 градусов, значит, четырёхугольник является выпуклым.

Вывод:

• Первый четырёхугольник не является выпуклым.
• Второй четырёхугольник является выпуклым.