Каковы углы треугольника ABO, образованного хордой AB и двумя радиусами окружности с центром в точке O и радиусом 10, если известно, что они относятся как 5: 2: 5? Какова площадь фигуры, ограниченной этой хордой и большей из стягиваемых ею дуг?

Геометрия 11 класс Углы и площади фигур в окружности углы треугольника ABO хорда AB радиусы окружности площадь фигуры стягиваемые дуги геометрия треугольника свойства треугольника окружность радиус 10 отношение углов расчет площади Новый

Для решения данной задачи начнем с определения углов треугольника ABO, образованного хордой AB и двумя радиусами OA и OB, где O - центр окружности, а A и B - точки на окружности.

Из условия известно, что углы треугольника ABO относятся как 5:2:5. Обозначим углы следующим образом:

• Угол AOB - 5x
• Угол OAB - 2x
• Угол OBA - 5x

Сумма углов треугольника равна 180 градусам:

5x + 2x + 5x = 180

Сложим коэффициенты:

12x = 180

Теперь найдем x:

x = 180 / 12 = 15

Теперь можем найти каждый угол:

• Угол AOB = 5x = 5 * 15 = 75 градусов
• Угол OAB = 2x = 2 * 15 = 30 градусов
• Угол OBA = 5x = 5 * 15 = 75 градусов

Теперь перейдем к вычислению площади фигуры, ограниченной хордой AB и большей из стягиваемых ею дуг. Для этого сначала найдем длину хорды AB.

Согласно теореме о длине хорды в окружности, длина хорды AB может быть найдена по формуле:

AB = 2 * R * sin(θ/2),

где R - радиус окружности, θ - угол AOB в радианах.

Поскольку радиус окружности равен 10, преобразуем угол AOB из градусов в радианы:

θ = 75 градусов = (75 * π) / 180 = (5π) / 12 радиан.

Теперь подставим значения в формулу:

AB = 2 * 10 * sin((5π) / 24).

Теперь найдем площадь сектора OAB:

Площадь сектора = (θ / 2π) * πR^2 = (5π/12) / (2π) * π * 10^2 = (5/24) * 100π = (125/12)π.

Теперь найдем площадь треугольника OAB, используя формулу:

Площадь треугольника = (1/2) * OA * OB * sin(AOB) = (1/2) * 10 * 10 * sin(75°).

Значение sin(75°) можно найти через известные значения:

sin(75°) = sin(45° + 30°) = sin(45°)cos(30°) + cos(45°)sin(30°) = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6 + √2)/4.

Теперь подставим в формулу:

Площадь треугольника OAB = (1/2) * 10 * 10 * (√6 + √2)/4 = 25(√6 + √2).

Теперь найдем площадь фигуры, ограниченной хордой AB и большей из стягиваемых ею дуг:

Площадь фигуры = Площадь сектора OAB - Площадь треугольника OAB.

Площадь фигуры = (125/12)π - 25(√6 + √2).

Таким образом, мы нашли углы треугольника ABO и вычислили площадь фигуры, ограниченной хордой AB и большей из стягиваемых ею дуг.