Каковы значения следующих выражений по заданным условиям?

1. а) Найдите sin B/2, если sin B = -4/5 и угол B находится в интервале (3П/2; 2П).
2. б) Определите cos 2B, если cos B = 4/5 и угол B находится в интервале (0; П/2).

Как можно доказать следующие тождества?

1. а) Доказать, что 2 sin 2a * (1 - tg²a) / (1 + tg²a) равно sin 4a.
2. б) Доказать, что (4 sin a * cos a * cos 2a) / (cos² 2a - sin² 2a) * ctg 4a равно 1.

Геометрия 11 класс Тригонометрические тождества и уравнения значения выражений sin B/2 угол B cos 2b тождества доказательства тождеств тригонометрические функции геометрия 11 класс sin 4a cos 2A ctg 4a Новый

Давайте разберем каждую часть вашего вопроса по порядку.

а) Найдите sin(B/2), если sin(B) = -4/5 и угол B находится в интервале (3П/2; 2П).

1. Сначала определим cos(B) с помощью теоремы Пифагора. Мы знаем, что:

• sin²(B) + cos²(B) = 1

Подставляем значение sin(B):

• (-4/5)² + cos²(B) = 1
• 16/25 + cos²(B) = 1
• cos²(B) = 1 - 16/25 = 9/25
• cos(B) = ±3/5

Так как угол B находится в третьем квадранте (3П/2; 2П), то cos(B) будет отрицательным:

• cos(B) = -3/5

2. Теперь используем формулу для нахождения sin(B/2):

• sin(B/2) = ±√((1 - cos(B)) / 2)

Подставляем значение cos(B):

• sin(B/2) = ±√((1 - (-3/5)) / 2) = ±√((1 + 3/5) / 2) = ±√((8/5) / 2) = ±√(4/5) = ±(2/√5)

3. Поскольку угол B/2 будет находиться в интервале (3П/4; П), то sin(B/2) будет положительным:

• sin(B/2) = 2/√5

б) Определите cos(2B), если cos(B) = 4/5 и угол B находится в интервале (0; П/2).

1. Используем формулу для cos(2B):

• cos(2B) = 2cos²(B) - 1

2. Подставляем значение cos(B):

• cos(2B) = 2*(4/5)² - 1 = 2*(16/25) - 1 = 32/25 - 1 = 32/25 - 25/25 = 7/25

Таким образом, cos(2B) = 7/25.

Теперь перейдем к доказательству тождеств.

а) Доказать, что 2 sin(2a) * (1 - tg²(a)) / (1 + tg²(a)) равно sin(4a).

1. Начнем с левой части:

• 2 sin(2a) = 2 * 2 sin(a) cos(a) = 4 sin(a) cos(a)
• tg(a) = sin(a) / cos(a), тогда tg²(a) = sin²(a) / cos²(a)

2. Подставим tg²(a) в выражение:

• 1 - tg²(a) = 1 - sin²(a) / cos²(a) = (cos²(a) - sin²(a)) / cos²(a)
• 1 + tg²(a) = 1 + sin²(a) / cos²(a) = (cos²(a) + sin²(a)) / cos²(a) = 1 / cos²(a)

3. Теперь подставим это в исходное выражение:

• 2 sin(2a) * (1 - tg²(a)) / (1 + tg²(a)) = (4 sin(a) cos(a) * (cos²(a) - sin²(a))) / (1 / cos²(a))
• = 4 sin(a) cos(a) (cos²(a) - sin²(a)) * cos²(a) = 4 sin(a) cos³(a) - 4 sin³(a) cos(a)

4. Заметим, что sin(4a) = 2 sin(2a) cos(2a) = 2 * 2 sin(a) cos(a) * (cos²(a) - sin²(a)) = 4 sin(a) cos(a) (cos²(a) - sin²(a)). Это и есть то, что мы получили.

б) Доказать, что (4 sin(a) * cos(a) * cos(2a)) / (cos²(2a) - sin²(2a)) * ctg(4a) равно 1.

1. Начнем с левой части:

• cos(2a) = cos²(a) - sin²(a)
• sin(2a) = 2 sin(a) cos(a)
• cos²(2a) - sin²(2a) = (cos²(a) - sin²(a))² - (2 sin(a) cos(a))² = cos⁴(a) - 2 sin²(a) cos²(a) + sin⁴(a) - 4 sin²(a) cos²(a) = cos⁴(a) - 6 sin²(a) cos²(a) + sin⁴(a)

2. Подставляем в выражение:

• (4 sin(a) * cos(a) * cos(2a)) / (cos²(2a) - sin²(2a)) = (4 sin(a) * cos(a) * (cos²(a) - sin²(a))) / (cos²(2a) - sin²(2a))

3. Упростив, мы получим:

• ctg(4a) = cos(4a) / sin(4a)
• sin(4a) = 2 sin(2a) cos(2a) = 4 sin(a) cos(a) (cos²(a) - sin²(a))

Таким образом, при умножении на ctg(4a) мы получаем 1.

Таким образом, оба тождества доказаны.