Какой косинус угла между боковым ребром и плоскостью основания правильной треугольной пирамиды, если ребро основания равно a, а высота равна H?

Геометрия 11 класс Геометрия треугольной пирамиды косинус угла боковое ребро плоскость основания правильная треугольная пирамида ребро основания высота H геометрия задачи по геометрии Новый

Чтобы найти косинус угла между боковым ребром и плоскостью основания правильной треугольной пирамиды, давайте сначала разберемся с геометрией данной фигуры.

Правильная треугольная пирамида имеет треугольник в основании и три боковых ребра, соединяющих вершину пирамиды с вершинами основания. Обозначим:

• a - длина ребра основания (сторона треугольника);
• H - высота пирамиды, проведенная из вершины к центру основания.

1. **Найдём координаты точек**:

• Пусть вершина основания находится в точках A, B и C. Центр основания O можно найти как центр масс треугольника ABC. Для равностороннего треугольника координаты центра O будут равны (0, 0, 0), если разместим его в плоскости XY.
• Вершина пирамиды (точка D) будет находиться над центром основания O на высоте H. Таким образом, её координаты будут (0, 0, H).

2. **Найдём длину бокового ребра**:

Боковое ребро (например, от D до A) будет равно:

• DA = √((x_D - x_A)² + (y_D - y_A)² + (z_D - z_A)²)
• Так как A имеет координаты (a/2, a√3/6, 0), то:
• DA = √((0 - a/2)² + (0 - a√3/6)² + (H - 0)²) = √((a/2)² + (a√3/6)² + H²).
• Теперь подставим значения:
• DA = √(a²/4 + 3a²/36 + H²) = √(9a²/36 + 3a²/36 + H²) = √((12a²/36) + H²) = √(a²/3 + H²).

3. **Найдём косинус угла**:

Косинус угла между боковым ребром и плоскостью основания можно найти, используя отношение высоты H к длине бокового ребра DA:

• cos(α) = H / DA.

4. **Подставим значение DA**:

Таким образом, получаем:

• cos(α) = H / √(a²/3 + H²).

Итак, косинус угла между боковым ребром и плоскостью основания правильной треугольной пирамиды равен:

cos(α) = H / √(a²/3 + H²).