Какой косинус угла образует диагональ куба с плоскостью одной из его граней?

Геометрия 11 класс Косинус угла между прямыми и плоскостями косинус угла диагональ куба плоскость грани геометрия 11 класс свойства куба углы в кубе Новый

Чтобы найти косинус угла, который образует диагональ куба с плоскостью одной из его граней, давайте сначала определим некоторые параметры куба и его диагонали.

Предположим, что куб имеет длину ребра a. Тогда:

• Длина диагонали куба (которая соединяет две противоположные вершины) можно найти по формуле: d = a * √3.
• Плоскость одной из граней куба будет представлять собой квадрат со стороной a.

Теперь нам нужно определить угол между диагональю куба и нормалью к плоскости грани. Нормаль к плоскости грани будет направлена перпендикулярно этой грани, и в случае куба она будет равна вектору, который направлен по одной из осей координат. Например, если мы рассматриваем грань, лежащую в плоскости XY, то нормаль будет направлена вдоль оси Z, то есть вектор нормали будет (0, 0, 1).

Теперь мы можем найти косинус угла между вектором диагонали и вектором нормали:

• Вектор диагонали куба: (a, a, a).
• Вектор нормали к грани: (0, 0, 1).

Косинус угла между двумя векторами можно найти с помощью формулы:

cos(θ) = (A · B) / (|A| * |B|),

где A и B — это векторы, а "·" обозначает скалярное произведение.

Теперь найдем скалярное произведение:

• A · B = (a, a, a) · (0, 0, 1) = a * 0 + a * 0 + a * 1 = a.

Теперь найдем длины векторов:

• |A| = √(a² + a² + a²) = √(3a²) = a√3.
• |B| = √(0² + 0² + 1²) = 1.

Теперь подставим все в формулу для косинуса:

cos(θ) = a / (a√3 * 1) = 1 / √3.

Таким образом, косинус угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней равен 1 / √3.