Какой объём и бок правильной треугольной пирамиды, если радиус окружности, вписанной в основание, составляет 3 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 30 градусов?

Геометрия 11 класс Объём и площадь правильной трёхугольной пирамиды объём пирамиды бок правильной треугольной пирамиды радиус окружности угол наклона бокового ребра геометрия 11 класс Новый

Чтобы найти объём и бок правильной треугольной пирамиды, нам необходимо использовать несколько формул и понять, как связаны радиус вписанной окружности и боковое ребро.

Шаг 1: Найдём площадь основания пирамиды.

Основание пирамиды является правильным треугольником. Радиус вписанной окружности (r) правильного треугольника связан с его стороной (a) по формуле:

r = a * sqrt(3) / 6.

Мы знаем, что r = 3 см, поэтому можем выразить a:

1. 3 = a * sqrt(3) / 6;
2. a = 3 * 6 / sqrt(3) = 18 / sqrt(3) = 6 * sqrt(3) см.

Теперь мы можем найти площадь основания (S) правильного треугольника по формуле:

S = (sqrt(3) / 4) * a^2.

Подставим значение a:

1. S = (sqrt(3) / 4) * (6 * sqrt(3))^2;
2. S = (sqrt(3) / 4) * 108 = 27 * sqrt(3) см².

Шаг 2: Найдём высоту пирамиды.

Высота пирамиды (h) связана с боковым ребром (l) и углом наклона (alpha) к плоскости основания:

h = l * sin(alpha).

Мы знаем, что угол наклона alpha = 30 градусов, и боковое ребро можно найти через радиус вписанной окружности. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро (l) можно выразить через высоту основания (h_основание) и радиус вписанной окружности:

h_основание = sqrt(a^2 - (a / 2)^2) = sqrt((6 * sqrt(3))^2 - (3 * sqrt(3))^2) = sqrt(108 - 27) = sqrt(81) = 9 см.

Теперь можем найти боковое ребро (l):

1. l = sqrt(h_основание^2 + (r / sqrt(3))^2);
2. l = sqrt(9^2 + (3 / sqrt(3))^2) = sqrt(81 + 3) = sqrt(84) = 2 * sqrt(21) см.

Теперь подставляем в формулу для высоты:

1. h = (2 * sqrt(21)) * sin(30°) = (2 * sqrt(21)) * 0.5 = sqrt(21) см.

Шаг 3: Найдём объём пирамиды.

Объём V правильной треугольной пирамиды можно найти по формуле:

V = (1/3) * S * h.

Подставляем значения:

1. V = (1/3) * (27 * sqrt(3)) * (sqrt(21));
2. V = 9 * sqrt(63) = 9 * 3 * sqrt(7) = 27 * sqrt(7) см³.

Ответ: Объём пирамиды составляет 27 * sqrt(7) см³, а высота пирамиды равна sqrt(21) см.