Какой объем и площадь поверхности конуса, если высота конуса равна 6 см, а образующая образует угол 30 градусов с основанием?

Геометрия 11 класс Объем и площадь поверхности конуса объем конуса площадь поверхности конуса высота конуса угол образующей геометрия 11 класс

Чтобы найти объем и площадь поверхности конуса, нам нужно знать его радиус основания и высоту. У нас есть высота конуса (h = 6 см) и угол между образующей и основанием (α = 30 градусов).

Шаг 1: Найдем радиус основания конуса.

Мы знаем, что угол α = 30 градусов. Образующая конуса (l) образует треугольник с высотой (h) и радиусом основания (r). В этом треугольнике мы можем использовать тригонометрические функции.

Используем функцию тангенса:

• tan(α) = h / r

Подставим известные значения:

• tan(30 градусов) = 1 / √3 ≈ 0.577
• 0.577 = 6 / r

Теперь выразим r:

• r = 6 / 0.577 ≈ 10.39 см

Шаг 2: Найдем объем конуса.

Формула для объема V конуса:

• V = (1/3) * π * r² * h

Подставим найденные значения:

• V = (1/3) * π * (10.39)² * 6
• V ≈ (1/3) * π * 108.00 * 6
• V ≈ (1/3) * π * 648
• V ≈ 216π ≈ 678.58 см³

Шаг 3: Найдем площадь поверхности конуса.

Площадь поверхности S конуса состоит из площади основания и боковой поверхности:

• S = π * r² + π * r * l

Где l - образующая конуса. Мы можем найти l, используя теорему Пифагора:

• l = √(r² + h²)

Подставим значения:

• l = √((10.39)² + (6)²)
• l = √(108.00 + 36)
• l = √144 = 12 см

Теперь можем найти площадь поверхности:

• S = π * (10.39)² + π * (10.39) * (12)
• S ≈ π * 108 + π * 124.68
• S ≈ π * 232.68
• S ≈ 731.88 см²

Ответ:

• Объем конуса ≈ 678.58 см³
• Площадь поверхности конуса ≈ 731.88 см²

Давай разберемся с этой задачей и найдем объем и площадь поверхности конуса! Это так интересно!

Итак, у нас есть конус с высотой 6 см и углом 30 градусов между образующей и основанием. Сначала найдем радиус основания конуса.

• Обозначим высоту конуса как h = 6 см.
• Угол между образующей и основанием равен 30 градусов.
• Используем тригонометрию: tan(угол) = противолежащий / прилежащий. Здесь противолежащий - это высота, а прилежащий - радиус основания.

Таким образом, мы можем найти радиус:

• tan(30°) = h / r
• r = h / tan(30°) = 6 / (1/√3) = 6√3 см.

Теперь, когда у нас есть радиус, можем найти объем конуса:

• Формула объема V = (1/3) * π * r² * h.
• Подставляем значения: V = (1/3) * π * (6√3)² * 6.
• V = (1/3) * π * 108 * 6 = 216π см³.

Теперь найдем площадь поверхности конуса!

• Площадь поверхности S = π * r² + π * r * l, где l - образующая.
• Чтобы найти l, используем теорему Пифагора: l = √(r² + h²).
• l = √((6√3)² + 6²) = √(108 + 36) = √144 = 12 см.

Теперь подставим все в формулу для площади:

• S = π * (6√3)² + π * (6√3) * 12.
• S = π * 108 + π * 72√3.

Итак, у нас есть:

• Объем конуса: 216π см³.
• Площадь поверхности: π * 108 + π * 72√3 см².

Это так здорово! Мы нашли объем и площадь поверхности конуса! Надеюсь, это вдохновило тебя на изучение математики!