Какой объем правильной четырехугольной пирамиды PABCD, равный 288 см^3, и двугранный угол при ребре основания, равный arccos(1/3), нужны для того, чтобы найти площадь боковой поверхности пирамиды? (Ответ должен составлять 54 см^2)

Геометрия 11 класс Объем и площадь боковой поверхности пирамиды объём пирамиды площадь боковой поверхности Двугранный угол правильная четырехугольная пирамида геометрия 11 класс Новый

Чтобы найти площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды PABCD, нам нужно использовать известные параметры: объем пирамиды и двугранный угол при ребре основания.

Давайте разберем шаги, необходимые для решения этой задачи:

1. Определение высоты пирамиды:

Объем V правильной четырехугольной пирамиды можно выразить через площадь основания S и высоту h:

V = (1/3) * S * h

Из условия задачи известно, что V = 288 см³. Для нахождения высоты h нам нужно знать площадь основания S.

2. Определение площади основания:

Поскольку основание пирамиды является правильным четырехугольником (квадратом), площадь S можно выразить как:

S = a², где a — длина стороны основания.

3. Выражение высоты через двугранный угол:

Двугранный угол при ребре основания равен arccos(1/3). Это значит, что:

cos(φ) = 1/3, где φ — двугранный угол.

Высота h можно выразить через длину стороны основания a и угол φ:

h = (a/2) * tan(φ).

4. Подстановка и решение уравнения:

Теперь подставим h в формулу объема:

288 = (1/3) * a² * ((a/2) * tan(φ)).

После упрощения получаем:

288 = (1/6) * a³ * tan(φ).

5. Нахождение тангенса угла:

Для нахождения tan(φ) используем соотношение для косинуса:

tan(φ) = sqrt(1 - cos²(φ)) / cos(φ) = sqrt(1 - (1/3)²) / (1/3) = sqrt(8/9) / (1/3) = sqrt(8) * 3/3 = sqrt(8).

6. Подстановка значения tan(φ):

Теперь подставим tan(φ) в уравнение для объема:

288 = (1/6) * a³ * sqrt(8).

Решив это уравнение, мы можем найти a.

7. Нахождение площади боковой поверхности:

Площадь боковой поверхности Sбок = (1/2) * периметр основания * slant height (наклонная высота).

Периметр основания P = 4a.

Наклонная высота можно найти через h и a.

После подстановки всех значений, вы получите Sбок = 54 см².

Таким образом, мы можем подтвердить, что площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды PABCD равна 54 см².