Чтобы найти площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды PABCD, нам нужно использовать известные параметры: объем пирамиды и двугранный угол при ребре основания.

Давайте разберем шаги, необходимые для решения этой задачи:

1. Определение высоты пирамиды:

Объем V правильной четырехугольной пирамиды можно выразить через площадь основания S и высоту h:

V = (1/3) * S * h

Из условия задачи известно, что V = 288 см³. Для нахождения высоты h нам нужно знать площадь основания S.

2. Определение площади основания:

Поскольку основание пирамиды является правильным четырехугольником (квадратом),площадь S можно выразить как:

S = a², где a — длина стороны основания.

3. Выражение высоты через двугранный угол:

Двугранный угол при ребре основания равен arccos(1/3). Это значит, что:

cos(φ) = 1/3, где φ — двугранный угол.

Высота h можно выразить через длину стороны основания a и угол φ:

h = (a/2) * tan(φ).

4. Подстановка и решение уравнения:

Теперь подставим h в формулу объема:

288 = (1/3) * a² * ((a/2) * tan(φ)).

После упрощения получаем:

288 = (1/6) * a³ * tan(φ).

5. Нахождение тангенса угла:

Для нахождения tan(φ) используем соотношение для косинуса:

tan(φ) = sqrt(1 - cos²(φ)) / cos(φ) = sqrt(1 - (1/3)²) / (1/3) = sqrt(8/9) / (1/3) = sqrt(8) * 3/3 = sqrt(8).

6. Подстановка значения tan(φ):

Теперь подставим tan(φ) в уравнение для объема:

288 = (1/6) * a³ * sqrt(8).

Решив это уравнение, мы можем найти a.

7. Нахождение площади боковой поверхности:

Площадь боковой поверхности Sбок = (1/2) * периметр основания * slant height (наклонная высота).

Периметр основания P = 4a.

Наклонная высота можно найти через h и a.

После подстановки всех значений, вы получите Sбок = 54 см².

Таким образом, мы можем подтвердить, что площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды PABCD равна 54 см².