Какой объем у правильной четырехугольной призмы, если её диагональ равна 12 см, а угол между диагональю и прилегающей стороной основания составляет 60 градусов?

Геометрия 11 класс Объем правильной четырехугольной призмы объем правильной четырехугольной призмы диагональ 12 см угол 60 градусов геометрия 11 класс задачи по геометрии Новый

Чтобы найти объем правильной четырехугольной призмы, нам нужно знать площадь основания и высоту призмы. Давайте разберем, как это сделать шаг за шагом.

Шаг 1: Найдем сторону основания призмы.

Правильная четырехугольная призма имеет квадратное основание. Если обозначить сторону квадрата за "a", то его диагональ можно выразить через сторону следующим образом:

Диагональ D равна a * корень из 2.

В нашем случае, диагональ D равна 12 см:

D = a * корень из 2 = 12 см.

Теперь выразим сторону a:

a = D / корень из 2 = 12 см / корень из 2 = 12 см * корень из 2 / 2 = 6 * корень из 2 см.

Шаг 2: Найдем площадь основания.

Площадь квадрата (основания призмы) вычисляется по формуле:

Площадь S = a^2.

Подставляем значение стороны:

S = (6 * корень из 2)^2 = 36 * 2 = 72 см².

Шаг 3: Найдем высоту призмы.

Для нахождения высоты призмы, воспользуемся углом между диагональю и прилегающей стороной. Угол 60 градусов позволяет нам использовать тригонометрические функции.

Высота h может быть найдена через диагональ и угол:

h = D * sin(угол).

Подставляем значения:

h = 12 см * sin(60 градусов) = 12 см * (корень из 3 / 2) = 6 * корень из 3 см.

Шаг 4: Найдем объем призмы.

Объем V правильной призмы вычисляется по формуле:

V = S * h, где S - площадь основания, а h - высота.

Подставим найденные значения:

V = 72 см² * (6 * корень из 3) см = 432 * корень из 3 см³.

Таким образом, объем правильной четырехугольной призмы равен 432 * корень из 3 см³.