Какой отрезок соединяет середины M и N оснований BC и AD трапеции ABCD и разбивает ее на 2 трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность? а) Как доказать, что трапеция ABCD равнобедренная? б) Если радиус этих окружностей равен 3, а меньшее основание BC исходной трапеции равно 8, как найти радиус окружности, касающейся боковой стороны AB, основания AN и вписанной в нее окружности?

Геометрия 11 класс Вписанные и описанные окружности в трапециях отрезок M и N середины оснований трапеции трапеция ABCD равнобедренная трапеция вписанная окружность радиус окружности основание BC боковая сторона AB геометрия 11 класс Новый

Для решения этой задачи начнем с того, что отрезок, соединяющий середины оснований BC и AD трапеции ABCD, называется средней линией трапеции. Обозначим середины оснований BC и AD как M и N соответственно. Этот отрезок MN будет параллелен основаниям и равен полусумме оснований:

MN = (AB + CD) / 2

Теперь перейдем к вопросу о доказательстве, что трапеция ABCD является равнобедренной:

1. Вспомним, что трапеция равнобедренная, если ее боковые стороны равны, то есть AB = CD.
2. Если в трапеции ABCD можно вписать окружности в обе части, на которые она делится отрезком MN, это означает, что сумма оснований равна сумме боковых сторон для каждой из этих частей:
• Для первой трапеции AMNB: AB + MN = AM + BN.
• Для второй трапеции MCDN: MN + CD = MC + DN.
3. Так как MN = (AB + CD) / 2, мы можем выразить равенство для обеих трапеций, что в свою очередь указывает на равенство боковых сторон AB и CD, следовательно, ABCD является равнобедренной.

Теперь перейдем ко второй части задачи:

Если радиус окружностей, вписанных в обе части трапеции, равен 3, а меньшее основание BC равно 8, то нужно найти радиус окружности, касающейся боковой стороны AB, основания AN и вписанной в нее окружности.

Для этой задачи воспользуемся свойством радиуса вписанной окружности в трапецию:

1. Пусть r1 - радиус окружности, вписанной в трапецию AMNB, а r2 - радиус окружности, вписанной в трапецию MCDN.
2. Согласно условию, r1 = r2 = 3.
3. Сумма оснований трапеции AMNB равна AB + MN, а для трапеции MCDN - MN + CD.
4. Сумма оснований равна сумме боковых сторон, что дает нам возможность использовать формулу для радиуса вписанной окружности:

r = S / p, где S - площадь трапеции, а p - полупериметр.

5. Так как у нас есть значения радиусов и одно основание, мы можем выразить другое основание через известные величины.
6. Радиус окружности, касающейся боковой стороны AB, основания AN и вписанной в нее окружности, можно найти, зная, что радиусы окружностей, вписанных в равнобедренные трапеции, равны и зависят от высоты и оснований.

Таким образом, для нахождения радиуса окружности, касающейся боковой стороны AB, можно воспользоваться аналогичными расчетами, как и для радиусов окружностей, вписанных в трапеции, и в итоге получить, что радиус ищемого круга будет равен 3, так как все окружности, вписанные в равнобедренные трапеции, будут иметь одинаковый радиус на основании равенства боковых сторон.