Какой радиус сферы, которая описана около конуса, если образующая конуса равна 50 корней из 2, а центр сферы совпадает с центром основания конуса и сфера содержит окружность основания конуса и его вершину?
Геометрия11 классСфера, описанная около конусарадиус сферыконусобразующая конуса50 корней из 2центр сферыоснование конусаокружность основаниявершина конусагеометрия 11 классзадачи по геометрииописание сферысвойства конусарадиус описанной сферы
Для решения задачи, давайте сначала разберемся с геометрией конуса и сферы, которая описана вокруг него. Мы знаем, что образующая конуса равна 50 корней из 2. Это означает, что длина боковой стороны конуса составляет 50 корней из 2.
Теперь представим осевое сечение конуса. Оно будет представлять собой равнобедренный треугольник, где:
Важно отметить, что высота этого треугольника равна радиусу сферы, которую мы ищем. Обозначим радиус сферы как R.
Теперь, чтобы найти R, опустим перпендикуляр из вершины треугольника на основание. Этот перпендикуляр разделит треугольник на два прямоугольных треугольника. В каждом из них:
По теореме Пифагора мы можем записать следующее уравнение:
R^2 + r^2 = (50 корней из 2)^2
Теперь вычислим (50 корней из 2)^2:
Таким образом, у нас получается:
R^2 + r^2 = 5000.
Теперь мы знаем, что радиус основания r равен R, потому что центр сферы совпадает с центром основания конуса. Таким образом, можно заменить r на R:
R^2 + R^2 = 5000.
Это упростится до:
Итак, радиус сферы, описанной около конуса, равен 50. Это и есть ответ на наш вопрос.