Для решения задачи мы будем использовать свойства прямоугольного параллелепипеда и векторы. Начнем с первого угла ABD₁.

1. Угол ABD₁

Прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ имеет следующие размеры:

• AB = 5
• AD = 4
• AA₁ = 3

Для нахождения угла ABD₁, мы можем использовать векторы:

• Вектор AB: (5, 0, 0)
• Вектор AD: (0, 4, 0)
• Вектор AD₁: (0, 0, 3)

Теперь найдем вектор BD₁. Он равен:

• Вектор BD₁ = B + D₁ - B = (5, 0, 0) + (0, 4, 3) = (5, 4, 3)

Теперь мы можем найти угол между векторами AB и BD₁. Для этого используем формулу:

cos(θ) = (A • B) / (|A| * |B|), где A и B - векторы.

Сначала найдем скалярное произведение:

• A • B = (5, 0, 0) • (5, 4, 3) = 25 + 0 + 0 = 25

Теперь найдем длины векторов:

• |AB| = √(5² + 0² + 0²) = 5
• |BD₁| = √(5² + 4² + 3²) = √(25 + 16 + 9) = √50

Теперь подставим значения в формулу:

cos(θ) = 25 / (5 * √50) = 25 / (5√50) = 5 / √50 = 5 / (5√2) = 1 / √2.

Следовательно, угол θ = 45°.

2. Угол CD₁B

Теперь перейдем ко второму углу CD₁B с размерами:

• AB = 3
• AD = 2
• AA₁ = √3

Аналогично, найдем векторы:

• Вектор CD: (3, 0, 0)
• Вектор AD: (0, 2, 0)
• Вектор AD₁: (0, 0, √3)

Теперь найдем вектор CB:

• Вектор CB = C + B - C = (3, 0, 0) + (0, 2, √3) = (3, 2, √3)

Теперь найдем угол между векторами CD и CB:

• A • B = (3, 0, 0) • (3, 2, √3) = 9 + 0 + 0 = 9

Теперь найдем длины векторов:

• |CD| = √(3² + 0² + 0²) = 3
• |CB| = √(3² + 2² + (√3)²) = √(9 + 4 + 3) = √16 = 4

Теперь подставим значения в формулу:

cos(θ) = 9 / (3 * 4) = 9 / 12 = 3/4.

Теперь найдем угол θ:

θ = arccos(3/4).

Приблизительно это равно 41.41°.

Ответ:

• Угол ABD₁ = 45°
• Угол CD₁B ≈ 41.41°