Какой угол образует диагональ прямоугольного параллелепипеда, у которого основание является квадратом со стороной 4 и диагональ равна 8, с боковой гранью?

Геометрия 11 класс Углы и расстояния в пространстве угол диагонали прямоугольный параллелепипед квадрат боковая грань геометрия 11 класс диагональ свойства углов вычисление углов Новый

Для решения задачи нам нужно найти угол, который образует диагональ прямоугольного параллелепипеда с одной из боковых граней. Давайте разберем задачу шаг за шагом.

Шаг 1: Определение параметров параллелепипеда

• Основание параллелепипеда является квадратом со стороной 4. Это значит, что длины всех сторон основания равны 4.
• Диагональ основания квадрата можно найти по формуле: d = a * √2, где a - длина стороны квадрата. Подставим значения: d = 4 * √2 ≈ 5.66.
• Однако в условии указано, что диагональ равна 8. Это может означать, что мы говорим о диагонали всего параллелепипеда, а не только основания.

Шаг 2: Определение высоты параллелепипеда

Пусть h - высота параллелепипеда. Мы знаем, что диагональ параллелепипеда (D) можно найти по формуле:

D = √(a^2 + a^2 + h^2), где a - длина стороны основания.

Подставим известные значения:

8 = √(4^2 + 4^2 + h^2).

Это упростится до:

8 = √(16 + 16 + h^2) = √(32 + h^2).

Теперь возведем обе стороны в квадрат:

64 = 32 + h^2.

Отсюда h^2 = 64 - 32 = 32.

Следовательно, h = √32 = 4√2.

Шаг 3: Определение угла между диагональю и боковой гранью

Теперь мы можем найти угол между диагональю параллелепипеда и боковой гранью. Диагональ параллелепипеда соединяет одну из вершин основания с противоположной вершиной верхней грани. Чтобы найти угол, нам нужно рассмотреть треугольник, образованный:

• Диагональ параллелепипеда (D = 8).
• Высота (h = 4√2).
• Половина диагонали основания (d/2 = 4√2 / 2 = 2√2).

Теперь мы можем использовать тригонометрию. Угол между диагональю и боковой гранью можно найти с помощью функции косинуса:

cos(φ) = (длина боковой грани) / (диагональ параллелепипеда).

Длина боковой грани равна высоте h, а диагональ параллелепипеда D = 8:

cos(φ) = (4√2) / 8 = √2 / 4.

Шаг 4: Нахождение угла

Теперь, чтобы найти угол φ, мы используем обратную функцию косинуса:

φ = arccos(√2 / 4).

Таким образом, угол между диагональю параллелепипеда и боковой гранью будет равен arccos(√2 / 4). Для точного значения угла можно использовать калькулятор.

В заключение, мы нашли угол, который образует диагональ прямоугольного параллелепипеда с боковой гранью, и это значение φ = arccos(√2 / 4).