Квадрат ABCD со стороной 8 см был повернут вокруг своего центра O так, что точка K, находящаяся на стороне AB, где AK=1, переместилась в точку на стороне BC. Каковы все возможные расстояния между точкой D и ее изображением D1 после этого поворота?

Геометрия 11 класс Повороты фигур в плоскости геометрия 11 класс квадрат ABCD поворот квадрата расстояние между точками центр квадрата задача по геометрии координаты точек свойства квадратов перемещение точек геометрические преобразования Новый

Для решения этой задачи начнем с того, что у нас есть квадрат ABCD со стороной 8 см. Центр квадрата O будет находиться в точке (4, 4), если считать, что A находится в (0, 0), B в (8, 0), C в (8, 8) и D в (0, 8).

Точка K находится на стороне AB, и ее координаты можно записать как (1, 0), так как AK = 1 см. Теперь нам нужно понять, как эта точка переместится после поворота квадрата вокруг центра O.

При повороте точки K вокруг центра O на угол θ, новые координаты K' можно вычислить по формуле:

• K' = O + R * (K - O),

где R - матрица поворота, а K - координаты точки K.

Матрица поворота R для угла θ имеет вид:

• R = | cos(θ) -sin(θ) |
• | sin(θ) cos(θ) |

Таким образом, координаты K' будут:

• K' = (4, 4) + | cos(θ) -sin(θ) | * (1 - 4, 0 - 4)
• | sin(θ) cos(θ) |

Теперь вычислим разницу между координатами D и D1. Точка D имеет координаты (0, 8). После поворота D1 также будет находиться на стороне BC, которая имеет уравнение x = 8.

Расстояние между точкой D и ее изображением D1 можно выразить как:

• Расстояние = |xD1 - xD| + |yD1 - yD|.

Так как D1 будет находиться на стороне BC, xD1 будет равен 8. Теперь подставим это значение:

• Расстояние = |8 - 0| + |yD1 - 8| = 8 + |yD1 - 8|.

Теперь нам нужно найти возможные значения yD1. Поскольку точка K поворачивается вокруг O, yD1 может принимать значения от 0 до 8 в зависимости от угла поворота θ. Поэтому:

• При θ = 0, K остается на месте, и D1 будет находиться на (8, 8), тогда расстояние = 8 + |8 - 8| = 8.
• При θ = 90°, K переместится в (0, 1) и D1 будет (8, 0), тогда расстояние = 8 + |0 - 8| = 16.
• При θ = 180°, K переместится в (1, 8) и D1 будет (8, 8), тогда расстояние = 8 + |8 - 8| = 8.
• При θ = 270°, K переместится в (8, 7) и D1 будет (8, 8), тогда расстояние = 8 + |8 - 8| = 8.

Таким образом, возможные расстояния между точкой D и ее изображением D1 после поворота квадрата могут быть:

• 8 см
• 16 см

В итоге, все возможные расстояния между точкой D и ее изображением D1 после поворота составляют 8 см и 16 см.