Чтобы найти радиус вписанной окружности ромба, нам нужно использовать несколько свойств ромба и его диагоналей.

Давайте начнем с того, что в ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делят его на четыре равных треугольника. Обозначим меньшую диагональ как d1, а большую диагональ как d2. Из условия задачи нам известно, что d1 = 16√3 см.

Сначала найдем длину стороны ромба. Используем известное свойство: длина стороны ромба может быть найдена через его диагонали по формуле:

a = √((d1^2 + d2^2) / 4)

Для этого нам нужно найти d2. Мы знаем, что острый угол ромба равен π/3 (или 60 градусов). В каждом из треугольников, образованных диагоналями, один из углов равен 60 градусов, а другой - 30 градусов. Используя свойства треугольников, мы можем выразить d2 через d1:

В треугольнике, образованном половинами диагоналей и стороной ромба, применим тригонометрические соотношения:

tan(30°) = d1 / (d2 / 2)

Так как tan(30°) = 1/√3, мы можем записать:

1/√3 = (16√3) / (d2 / 2)

Теперь выразим d2:

1. Перепишем уравнение: d2 / 2 = 16√3 * √3
2. Упростим: d2 / 2 = 48
3. Умножим обе стороны на 2: d2 = 96 см

Теперь, когда у нас есть обе диагонали, мы можем найти длину стороны ромба:

a = √((d1^2 + d2^2) / 4) = √(((16√3)^2 + (96)^2) / 4)

Посчитаем:

1. (16√3)^2 = 768
2. (96)^2 = 9216
3. Сложим: 768 + 9216 = 9984
4. Теперь подставим в формулу: a = √(9984 / 4) = √2496
5. Упростим: a = 4√156

Теперь мы можем найти радиус вписанной окружности. Радиус r вписанной окружности ромба можно найти по формуле:

r = (a * h) / 2

где h - высота ромба. Высоту можно найти через сторону и угол:

h = a * sin(60°)

Так как sin(60°) = √3 / 2, подставим:

h = (4√156) * (√3 / 2) = 2√468

Теперь подставим в формулу для радиуса:

r = (4√156 * 2√468) / 2 = 4√156 * √468

Таким образом, радиус вписанной окружности ромба равен 4√156 * √468 см.