Для того чтобы показать, что отрезок CO является биссектрисой угла C в прямоугольном треугольнике ABC с построенным на гипотенузе AB квадратом, выполним следующие шаги:

1. Определим основные элементы треугольника и квадрата:
   • Треугольник ABC - прямоугольный, где угол C - прямой.
   • Гипотенуза AB, на которой построен квадрат A'B'C'D'.
   • Центр квадрата O.
2. Рассмотрим свойства квадратов:
   • Квадрат имеет равные стороны и углы 90 градусов.
   • Стороны квадрата A'B'C'D' параллельны и перпендикулярны гипотенузе AB.
3. Определим положение точки O:
   • Точка O является центром квадрата, следовательно, она равноудалена от всех его вершин.
   • Это означает, что отрезки OA', OB', OC', OD' равны между собой.
4. Проведем анализ угла C:
   • Угол C в треугольнике ABC равен 90 градусов.
   • Биссектрисой угла C будет являться отрезок, который делит угол C на два равных угла по 45 градусов.
5. Покажем, что CO делит угол C пополам:
   • Из-за симметрии квадрата, углы AOC и BOC равны.
   • Угол AOB равен 90 градусов (так как это угол между двумя сторонами квадрата, которые перпендикулярны). Следовательно, угол AOC и угол BOC равны 45 градусов.
   • Таким образом, отрезок CO делит угол C на два равных угла, что и является определением биссектрисы.

В итоге, мы доказали, что отрезок CO действительно является биссектрисой угла C в прямоугольном треугольнике ABC, построенном с квадратом на гипотенузе AB.