2025-08-22 18:20:55
На сторонах АВ и AD параллелограмма ABCD расположены точки F и K так, что AF равно FB, а отношение AK к KD составляет 1 к 2. Какова площадь треугольника CFK, если длина АВ равна 16, длина AD равна 18, а высота параллелограмма ВН, проведённая к стороне AD, равна 10?
Геометрия 11 класс Площадь треугольника в параллелограмме параллелограмм ABCD площадь треугольника CFK точки F и K длина AB длина AD высота параллелограмма отношение AK к KD геометрия 11 класс
2025-08-22 18:21:14
Для решения задачи начнем с анализа данных, которые у нас есть.
- Длина стороны AB (или CD) параллелограмма ABCD равна 16.
- Длина стороны AD (или BC) параллелограмма равна 18.
- Высота BH, проведенная к стороне AD, равна 10.
- Точка F делит сторону AB пополам, то есть AF = FB = 8.
- Отношение AK к KD составляет 1 к 2, что значит, что AK = x, а KD = 2x.
Сначала найдем длину отрезка AD:
- Сумма отрезков AK и KD равна длине AD: AK + KD = AD.
- Подставим значения: x + 2x = 18.
- Таким образом, 3x = 18, отсюда x = 6.
- Теперь находим длины отрезков: AK = 6 и KD = 12.
Теперь мы знаем координаты точек F и K:
- Точка F делит сторону AB пополам, следовательно, координаты F будут (8, 0).
- Точка K делит сторону AD в отношении 1:2, следовательно, координаты K будут (0, 6).
Теперь найдем площадь треугольника CFK. Для этого воспользуемся формулой площади треугольника, заданного координатами вершин:
Площадь треугольника с вершинами (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) равна:
Площадь = 0.5 * |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)|.
Подставим координаты точек C, F и K:
- Координаты точки C: (0, 10) (так как C находится на высоте BH).
- Координаты точки F: (8, 0).
- Координаты точки K: (0, 6).
Теперь подставим координаты в формулу:
- Площадь = 0.5 * |0(0 - 6) + 8(6 - 10) + 0(10 - 0)|.
- Площадь = 0.5 * |0 + 8 * (-4) + 0|.
- Площадь = 0.5 * |-32|.
- Площадь = 0.5 * 32 = 16.
Таким образом, площадь треугольника CFK равна 16.