На сторонах АВ и АС треугольника отмечены точки М и N соответственно. Известно, что отношение АМ к АВ составляет 3 к 7, а отношение АN к АС также равно 3 к 7. Какова площадь треугольника АМN, если площадь треугольника АВС равна 70?

Геометрия 11 класс Тематика: Площадь треугольника и подобие треугольников геометрия треугольник площадь треугольника отношение задачи по геометрии свойства треугольника площадь АМN площадь АВС решение задач математические отношения Новый

Чтобы найти площадь треугольника AMN, нам нужно использовать свойства подобия треугольников и отношения отрезков.

1. Сначала определим, как точки M и N делят стороны AB и AC. Поскольку отношение AM к AB равно 3 к 7, это означает, что:

• AM = 3x
• MB = 7x - 3x = 4x

Таким образом, AB = AM + MB = 3x + 4x = 7x.

2. Аналогично, для стороны AC, поскольку отношение AN к AC также равно 3 к 7, мы можем записать:

• AN = 3y
• NC = 7y - 3y = 4y

Таким образом, AC = AN + NC = 3y + 4y = 7y.

3. Теперь мы можем заметить, что треугольники AMN и ABC подобны. Это происходит потому, что угол A у них общий, и стороны AM и AN пропорциональны сторонам AB и AC соответственно.

4. Поскольку треугольники подобны, отношение их площадей равно квадрату отношения соответствующих сторон. Мы уже выяснили, что:

• AM / AB = 3 / 7
• AN / AC = 3 / 7

Таким образом, отношение площадей треугольников AMN и ABC будет равно:

(AM / AB) * (AN / AC) = (3/7) * (3/7) = 9/49.

5. Теперь, зная, что площадь треугольника ABC равна 70, мы можем найти площадь треугольника AMN:

Площадь AMN = Площадь ABC * (9/49) = 70 * (9/49).

6. Теперь произведем вычисления:

• 70 * 9 = 630
• Площадь AMN = 630 / 49 = 12.857.

Таким образом, площадь треугольника AMN составляет примерно 12.86 (или 12 12/49) квадратных единиц.