На стороне AD параллелограмма ABCD выбрана точка A1 так, что DA1=4 см. Плоскость, параллельная диагонали AC, проходит через точку A1 и пересекает сторону CD в точке C1. Докажите, что треугольники A1C1D и ABC подобны. Найдите диагональ AC, если A1C1 = 6 см и BC = 10 см.

Геометрия 11 класс Подобие треугольников геометрия 11 класс параллелограмм Подобные треугольники доказательство диагонали точки пересечения длина отрезка A1C1 BC AC свойства треугольников плоскости параллельность задачи по геометрии Новый

Чтобы доказать, что треугольники A1C1D и ABC подобны, рассмотрим следующие моменты:

• В параллелограмме ABCD противоположные стороны равны и параллельны.
• Плоскость, проходящая через A1 и параллельная диагонали AC, создает угол с линией AD, равный углу ABC.
• Таким образом, угол A1C1D равен углу ABC.
• Сторона A1D является частью стороны AD, а сторона AC является частью стороны BC, что также указывает на пропорциональность сторон.

Следовательно, треугольники A1C1D и ABC подобны по двум углам.

Теперь найдем диагональ AC:

• Поскольку треугольники подобны, то их стороны пропорциональны: A1C1 / BC = A1D / AB.
• Зная, что A1C1 = 6 см и BC = 10 см, получаем: 6 / 10 = 4 / AB.
• Решая это уравнение, находим AB = 10 см * 4 / 6 = 6.67 см.
• Используя теорему Пифагора в треугольнике ABC, где AC² = AB² + BC², получаем: AC² = (6.67)² + (10)².
• AC² = 44.49 + 100 = 144.49.
• Следовательно, AC = √144.49 ≈ 12 см.

Ответ: Диагональ AC ≈ 12 см.