2025-09-09 17:35:05
На высоте AD остроугольного треугольника ABC выбрана точка K. Точки M и N — это проекции точки K на стороны AB и AC соответственно. Как можно доказать, что точки B, C, M и N находятся на одной окружности?
Геометрия 11 класс Окружности и вписанные углы геометрия треугольник высота окружность проекции доказательство остроугольный треугольник точки
2025-09-09 17:35:29
Для доказательства того, что точки B, C, M и N лежат на одной окружности, мы можем воспользоваться свойством углов, образованных хордой и касательной.
Шаги доказательства:
- Определим углы: Рассмотрим угол BKC. Этот угол является углом, образованным отрезками BK и CK.
- Проекции: Точки M и N являются проекциями точки K на стороны AB и AC соответственно. Это означает, что угол KMB и угол KNC являются прямыми углами (90 градусов), так как проекции перпендикулярны сторонам треугольника.
- Свойство углов: Теперь обратим внимание на углы BMC и CNC. Мы знаем, что угол BKC равен углу BMC + угол CMB и угол BKC равен углу CNC + угол CNB. Поскольку K — это точка, лежащая на высоте AD, то угол KAB равен углу KAC, что указывает на равенство углов.
- Сумма углов: Сумма углов BMC и CNC равна 180 градусам, так как они являются углами, образованными двумя пересекающимися прямыми (BK и CK) и двумя перпендикулярами (KM и KN).
- Касательная и хорда: По теореме о вписанных углах, если угол, образованный двумя секущими (в данном случае BKC), равен углу, образованному касательной и хордой (угол BMC или угол CNC), то точки B, C, M и N лежат на одной окружности.
Таким образом, мы доказали, что точки B, C, M и N находятся на одной окружности, так как угол BKC равен углу BMC + угол CMB и угол CNC + угол CNB, что подтверждает, что эти точки удовлетворяют условию для лежания на одной окружности.