Окружность касается стороны BC треугольника ABC в ее середине, проходит через точку A, а отрезки AB и AC пересекает в точках D и E соответственно. Какой косинус угла BAC, если BD = 2, AE = 5, а длина BC составляет 12?

Геометрия 11 класс Окружности и треугольники окружность треугольник ABC угол BAC косинус угла отрезки AB и AC длина BC точки D и E геометрия 11 класс задача по геометрии решение задачи Новый

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами касательной окружности и теорией о секущих. Давайте рассмотрим треугольник ABC и окружность, которая касается стороны BC в ее середине. Обозначим середину отрезка BC как M. Поскольку окружность касается стороны BC, то отрезки BM и MC равны и составляют по 6 единиц (так как BC = 12).

Теперь обозначим длины отрезков:

• BD = 2
• AE = 5
• BM = 6
• MC = 6

Согласно теореме о секущих, для точек D и E, которые лежат на отрезках AB и AC соответственно, выполняется следующее равенство:

BD * DC = AE * EB.

Нам нужно найти длину отрезка DC. Поскольку M – середина BC, то:

DC = MC - MD = 6 - 2 = 4.

Теперь подставим известные значения в уравнение:

2 * 4 = 5 * EB.

Это упрощается до:

8 = 5 * EB.

Отсюда находим EB:

EB = 8 / 5 = 1.6.

Теперь можем найти длину отрезка AB:

AB = BD + DB = 2 + 1.6 = 3.6.

Аналогично находим длину отрезка AC:

AC = AE + EB = 5 + 1.6 = 6.6.

Теперь у нас есть длины сторон AB и AC. Чтобы найти косинус угла BAC, воспользуемся косинусом теоремы:

cos(BAC) = (AB^2 + AC^2 - BC^2) / (2 * AB * AC).

Теперь подставим значения:

AB = 3.6, AC = 6.6, BC = 12.

Сначала вычислим AB^2, AC^2 и BC^2:

AB^2 = 3.6^2 = 12.96,

AC^2 = 6.6^2 = 43.56,

BC^2 = 12^2 = 144.

Теперь подставим в формулу:

cos(BAC) = (12.96 + 43.56 - 144) / (2 * 3.6 * 6.6).

Считаем числитель:

12.96 + 43.56 - 144 = 56.52 - 144 = -87.48.

Теперь считаем знаменатель:

2 * 3.6 * 6.6 = 47.52.

Теперь подставим все значения:

cos(BAC) = -87.48 / 47.52.

Теперь делим:

cos(BAC) ≈ -1.83.

Так как косинус угла не может превышать 1 по модулю, это указывает на то, что в данном треугольнике угол BAC является тупым. Таким образом, ответ на вопрос о косинусе угла BAC:

Косинус угла BAC ≈ -1.83 (угол является тупым).