Похожие вопросы
2025-09-11 20:19:04
Окружность с центром O вписана в угол, равный 60 градусов. Окружность большего радиуса с центром O1 также вписана в этот угол и проходит через точку O.
- Докажите, что радиус второй окружности вдвое больше радиуса первой.
- Найдите длину общей хорды этих окружностей, если известно, что радиус первой окружности равен 2√15.
Геометрия 11 класс Вписанные и описанные окружности окружность радиус угол 60 градусов доказать длина хорды геометрия 11 класс вписанная окружность радиус окружности общая хорда задачи по геометрии
2025-09-11 20:19:28
Давайте рассмотрим задачу шаг за шагом.
1. Определим радиусы окружностей.
Пусть r - радиус первой окружности, которая вписана в угол 60 градусов. По условию задачи, r = 2√15.
Обозначим радиус второй окружности как R.
2. Докажем, что R = 2r.
- Для окружности, вписанной в угол, радиус r можно выразить через угол α следующим образом: r = h / (1 + cos(α)), где h - расстояние от вершины угла до точки касания окружности.
- В нашем случае угол α равен 60 градусов, и мы знаем, что cos(60) = 0.5.
- Подставляем значение: r = h / (1 + 0.5) = h / 1.5 = 2h/3.
- Теперь рассмотрим вторую окружность с радиусом R, которая также вписана в угол 60 градусов и проходит через точку O. В этом случае радиус R можно выразить аналогично: R = h / (1 + cos(60)) = h / 1.5 = 2h/3.
- Однако, чтобы учесть, что R проходит через точку O, мы можем заметить, что O1 (центр второй окружности) будет находиться на расстоянии R от O, и это расстояние будет в два раза больше радиуса первой окружности, так как обе окружности касаются одной и той же линии, проходящей через вершину угла.
- Таким образом, R = 2r.
3. Найдем длину общей хорды этих окружностей.
Длина общей хорды двух окружностей может быть найдена по формуле:
l = 2 * sqrt(R^2 - d^2), где d - расстояние между центрами окружностей.
4. Определим расстояние d.
Центр O1 находится на расстоянии R от O. Так как R = 2r = 2 * 2√15 = 4√15, то d = R = 4√15.
5. Теперь подставим значения в формулу для длины хорды.
- R = 4√15.
- r = 2√15.
- Подставляем в формулу: l = 2 * sqrt((4√15)² - (2√15)²).
- l = 2 * sqrt(16 * 15 - 4 * 15) = 2 * sqrt(240 - 60) = 2 * sqrt(180) = 2 * 6√5 = 12√5.
Таким образом, длина общей хорды этих окружностей равна 12√5.