Для решения задачи начнем с определения размеров осевого сечения цилиндра. Из условия известно, что диагональ прямоугольника составляет 13 см, а косинус угла между диагональю и основанием равен 12/13.

1. Определим длину оснований прямоугольника:

• Пусть высота прямоугольника (которая соответствует высоте цилиндра) равна h, а ширина (которая соответствует радиусу основания цилиндра) равна r.
• Согласно определению косинуса, мы можем написать: cos(α) = (основание) / (диагональ), где α - угол между основанием и диагональю. Таким образом, имеем: cos(α) = r / 13.
• Подставив значение косинуса, получаем: 12/13 = r / 13.
• Отсюда находим радиус: r = 12 см.
• Теперь найдем высоту h, используя теорему Пифагора: h = √(диагональ² - основание²) = √(13² - r²) = √(169 - 12²) = √(169 - 144) = √25 = 5 см.

2. Теперь, когда мы знаем радиус и высоту цилиндра, можем найти площадь боковой поверхности цилиндра:

• Формула для площади боковой поверхности цилиндра: S = 2 * π * r * h.
• Подставим известные значения: S = 2 * π * 12 * 5 = 120π см².

3. Если требуется получить численное значение, можем использовать приближенное значение π ≈ 3.14: S ≈ 120 * 3.14 ≈ 376.8 см².

Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра составляет примерно 376.8 см².