Для решения данной задачи мы будем использовать свойства правильного треугольника и некоторые формулы геометрии.

1. Длина стороны треугольника:

Площадь правильного треугольника можно вычислить по формуле:

• Площадь = (a² * √3) / 4, где a - длина стороны треугольника.

Из условия задачи нам известно, что площадь равна 27√3 см²:

• (a² * √3) / 4 = 27√3

Умножим обе стороны уравнения на 4:

• a² * √3 = 108√3

Теперь разделим обе стороны на √3:

• a² = 108

Теперь извлечем квадратный корень:

• a = √108 = 6√3 см.

2. Радиус сечения кули с плоскостью треугольника:

Радиус сечения кули (R) можно вычислить по формуле:

• R = h / sin(θ),

где h - высота треугольника, а θ - угол между высотой и радиусом. Высоту треугольника можно найти по формуле:

• h = (a * √3) / 2.

Подставим a = 6√3:

• h = (6√3 * √3) / 2 = 9 см.

Радиус сечения будет равен:

• R = 4 / sin(θ),

где θ - угол между высотой и радиусом. Для правильного треугольника sin(θ) = 1/2, тогда:

• R = 4 / (1/2) = 8 см.

3. Площадь сечения:

Площадь сечения (S) можно найти по формуле:

• S = π * R².

Подставим R = 8 см:

• S = π * 8² = 64π см².

4. Радиус кули:

Радиус кули (r) можно определить как:

• r = R / 2 = 8 / 2 = 4 см.

5. Синус угла между радиусом кули, плоскостью треугольника и радиусом кули, проведенным к стороне треугольника:

Этот угол можно обозначить как φ. Поскольку у нас равносторонний треугольник, угол между радиусами будет равен 60°. Значит:

• sin(φ) = sin(60°) = √3 / 2.

6. Расстояние от центра кули до вершин треугольника:

Это расстояние можно найти как:

• d = R - r = 8 - 4 = 4 см.

Таким образом, мы нашли все необходимые параметры:

• Длина стороны треугольника: 6√3 см.
• Радиус сечения кули: 8 см.
• Площадь сечения: 64π см².
• Радиус кули: 4 см.
• Синус угла между радиусами: √3 / 2.
• Расстояние от центра кули до вершин треугольника: 4 см.