Плоскость пересекает отрезок AB, деля его в отношении 3:7 от точки A. Расстояние от середины отрезка до плоскости равно 4. Каково расстояние от точки B до плоскости?

Геометрия 11 класс Геометрия в пространстве геометрия 11 класс плоскость и отрезок отношение отрезков расстояние до плоскости задачи по геометрии Новый

Давайте разберёмся с данной задачей шаг за шагом.

У нас есть отрезок AB, который делится плоскостью в отношении 3:7 от точки A. Это означает, что если мы обозначим точку пересечения плоскости с отрезком как точку P, то:

• AP = 3k,
• PB = 7k,

где k - некоторый коэффициент, который позволяет нам выразить длины отрезков AP и PB через одну переменную.

Таким образом, длина всего отрезка AB будет равна:

AB = AP + PB = 3k + 7k = 10k.

Теперь, чтобы найти расстояние от точки B до плоскости, нам нужно сначала определить координаты точки P. Мы знаем, что точка P делит отрезок AB в отношении 3:7, значит, она находится ближе к A, чем к B.

Сначала найдем середину отрезка AB. Середина отрезка M находится на расстоянии:

AM = MB = (1/2) * AB = (1/2) * 10k = 5k.

Теперь у нас есть следующие расстояния:

• Расстояние от точки A до плоскости (по отношению к P) = 3k - d, где d - расстояние от P до плоскости,
• Расстояние от точки B до плоскости = 7k + d.

Из условия задачи нам дано, что расстояние от середины отрезка до плоскости равно 4. Поскольку M - это середина отрезка, мы можем записать:

Расстояние от M до плоскости = |(AP + PB)/2 - d| = 4.

Теперь подставим значения:

Расстояние от M до плоскости = |(10k)/2 - d| = |5k - d| = 4.

Мы можем выразить d через k:

5k - d = 4 или 5k - d = -4.

Рассмотрим первый случай:

5k - d = 4
d = 5k - 4.

Теперь подставим d во второе уравнение для расстояния от точки B до плоскости:

Расстояние от B до плоскости = 7k + d = 7k + (5k - 4) = 12k - 4.

Теперь нам нужно найти значение k. Мы можем использовать второе уравнение:

5k - d = -4
d = 5k + 4.

Подставим d во второе уравнение:

Расстояние от B до плоскости = 7k + (5k + 4) = 12k + 4.

Теперь у нас есть два выражения для расстояния от B до плоскости:

• 12k - 4,
• 12k + 4.

Теперь мы можем найти значение k, подставив его в одно из уравнений. Однако, так как у нас есть два случая, мы можем заметить, что расстояние от B до плоскости будет в зависимости от k и равен:

Расстояние от B до плоскости = 12k - 4 или 12k + 4.

Теперь мы можем подставить значения k, чтобы найти окончательное расстояние от точки B до плоскости. Если k = 1, то:

Расстояние от B до плоскости = 12(1) - 4 = 8 или 12(1) + 4 = 16.

Таким образом, конечный ответ:

Расстояние от точки B до плоскости равно 8 или 16, в зависимости от того, какой случай мы рассматриваем.