Полное решение !

Как найти косинус угла между векторами b = 6m – n и c = m + 3n, если векторы m и n перпендикулярны и их длины равны 1?

Геометрия 11 класс Углы и векторы косинус угла векторы b и c перпендикулярные векторы длина векторов решение задачи по геометрии Новый

Чтобы найти косинус угла между векторами b и c, мы будем использовать формулу, основанную на скалярном произведении векторов. Векторы b и c заданы следующим образом:

• b = 6m – n
• c = m + 3n

Косинус угла между двумя векторами можно найти по формуле:

cos(θ) = (b · c) / (|b| |c|)

где:

• θ – угол между векторами b и c;
• b · c – скалярное произведение векторов b и c;
• |b| и |c| – длины векторов b и c соответственно.

Теперь давайте начнем с нахождения скалярного произведения b и c:

Шаг 1: Нахождение скалярного произведения b и c.

Скалярное произведение двух векторов a и b вычисляется по формуле:

a · b = |a| |b| cos(θ)

Также, если векторы заданы в координатной системе, то скалярное произведение можно найти как сумму произведений соответствующих координат. В нашем случае:

Сначала найдем координаты векторов b и c:

• m = (1, 0), n = (0, 1) (так как длины равны 1 и они перпендикулярны).
• Тогда b = 6m - n = 6(1, 0) - (0, 1) = (6, -1).
• c = m + 3n = (1, 0) + 3(0, 1) = (1, 3).

Теперь можем найти скалярное произведение b и c:

b · c = (6, -1) · (1, 3) = 6 * 1 + (-1) * 3 = 6 - 3 = 3.

Таким образом, скалярное произведение b и c равно 3.

Шаг 2: Нахождение длины векторов b и c.

Длина вектора вычисляется по формуле:

|v| = √(x² + y²)

Для вектора b:

|b| = √(6² + (-1)²) = √(36 + 1) = √37.

Для вектора c:

|c| = √(1² + 3²) = √(1 + 9) = √10.

Шаг 3: Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла.

Теперь подставим все найденные значения в формулу:

cos(θ) = (b · c) / (|b| |c|) = 3 / (√37 * √10) = 3 / √370.

Таким образом, косинус угла между векторами b и c равен 3 / √370.