Помогите! Даю хорошие баллы!

В правильной шестиугольной пирамиде угол между боковой гранью и основанием составляет 45 градусов, а объем пирамиды равен 162. Как можно определить длину стороны основания этой пирамиды?

Помогите пожалуйста!

Геометрия 11 класс Объем правильной пирамиды правильная шестиугольная пирамида угол между боковой гранью и основанием объём пирамиды длина стороны основания геометрия 11 класс Новый

Давайте решим задачу шаг за шагом. У нас есть правильная шестиугольная пирамида, и нам нужно найти длину стороны основания, зная угол между боковой гранью и основанием, а также объем пирамиды.

Шаг 1: Определим формулу объема пирамиды.

Объем V правильной пирамиды можно выразить через площадь основания S и высоту h:

V = (1/3) * S * h

Шаг 2: Найдем площадь основания.

Основание нашей пирамиды — правильный шестиугольник. Площадь S правильного шестиугольника со стороной a можно вычислить по формуле:

S = (3√3 / 2) * a²

Шаг 3: Найдем высоту пирамиды.

У нас есть угол между боковой гранью и основанием, который равен 45 градусам. Это означает, что высота h и радиус описанной окружности R шестиугольника связаны следующим образом:

tan(45°) = h / R

Поскольку tan(45°) = 1, мы можем записать:

h = R

Шаг 4: Найдем радиус описанной окружности.

Радиус R правильного шестиугольника со стороной a равен:

R = a

Таким образом, высота h также равна a.

Шаг 5: Подставим все в формулу объема.

Теперь мы можем подставить все известные величины в формулу объема:

V = (1/3) * S * h = (1/3) * ((3√3 / 2) * a²) * a

Упрощаем:

V = (1/3) * (3√3 / 2) * a³

V = (√3 / 2) * a³

Шаг 6: Подставим известный объем.

Теперь подставим значение объема V = 162:

(√3 / 2) * a³ = 162

Шаг 7: Найдем a³.

Умножим обе стороны на 2:

√3 * a³ = 324

Теперь разделим обе стороны на √3:

a³ = 324 / √3

Шаг 8: Найдем a.

Теперь нам нужно извлечь кубический корень:

a = (324 / √3)^(1/3)

Шаг 9: Упростим выражение.

Чтобы упростить 324 / √3, мы можем умножить числитель и знаменатель на √3:

324√3 / 3 = 108√3

Теперь у нас есть:

a = (108√3)^(1/3}

Шаг 10: Найдем значение a.

Мы можем считать, что a = 3 * (2√3)^(1/3). Теперь, чтобы найти точное значение, используем калькулятор или вычисления, чтобы получить:

a ≈ 6.

Таким образом, длина стороны основания правильной шестиугольной пирамиды составляет примерно 6 единиц.