Для решения этой задачи давайте внимательно разберем, что происходит с площадью треугольника при каждом шаге, когда мы откладываем и соединяем серединные точки сторон.

1. Начнем с правильного треугольника ABC. Обозначим его площадь как S.

2. Когда мы соединяем серединные точки сторон треугольника, мы образуем новый треугольник A1B1C1, который является подобным треугольнику ABC. Поскольку A1B1C1 образован серединными точками, его стороны в два раза меньше сторон треугольника ABC.

3. Поскольку треугольники подобны, отношение их площадей равно квадрату отношения их соответствующих сторон. Если стороны треугольника A1B1C1 в два раза меньше сторон треугольника ABC, то:

• Площадь треугольника A1B1C1 равна S/4.

4. Теперь повторим этот процесс. При следующем шаге, когда мы образуем треугольник A2B2C2, он также будет подобен треугольнику A1B1C1, и его площадь будет равна:

• Площадь A2B2C2 = (S/4) / 4 = S/16.

5. Мы видим, что каждый раз площадь нового треугольника уменьшается в 4 раза. Таким образом, после n шагов, площадь треугольника A_nB_nC_n будет равна:

• S_n = S / (4^n).

6. Теперь нам нужно найти площадь треугольника A6B6C6. Подставим n = 6:

• S_6 = S / (4^6).

7. Теперь найдем площадь начального треугольника ABC. Площадь правильного треугольника можно вычислить по формуле:

• S = (sqrt(3) / 4) * a^2,

где a - длина стороны треугольника. В нашем случае a = 2^12.

8. Подставим значение a:

• S = (sqrt(3) / 4) * (2^12)^2 = (sqrt(3) / 4) * 2^24.

9. Теперь подставим это значение в формулу для S_6:

• S_6 = ((sqrt(3) / 4) * 2^24) / (4^6) = ((sqrt(3) / 4) * 2^24) / (2^12) = (sqrt(3) / 4) * 2^(24 - 12) = (sqrt(3) / 4) * 2^12.

10. Таким образом, площадь треугольника A6B6C6 равна:

• S_6 = (sqrt(3) / 4) * 2^12.

В итоге, площадь треугольника A6B6C6 можно выразить как (sqrt(3) / 4) * 2^12. Это и будет окончательный ответ.