Помогите решить срочно, ставлю высший балл. Медианы АА1 и СС1 треугольника ABC пересекаются в точке М. Докажите, что если в четырехугольник A1ВС1М можно вписать окружность, то периметры треугольников СС1В и АА1В равны.

Геометрия 11 класс Медианы треугольника и вписанная окружность медианы треугольника четырехугольник A1ВС1М вписанная окружность периметры треугольников доказательство в геометрии Новый

Для решения данной задачи начнем с анализа условий. У нас есть треугольник ABC, медианы AА1 и CС1 пересекаются в точке М. Мы знаем, что четырехугольник A1BC1M можно вписать в окружность. Это означает, что он является вписанным четырехугольником.

Шаг 1: Понимание условий вписанного четырехугольника

• Вписанный четырехугольник обладает свойством, что сумма противолежащих углов равна 180 градусам.

Пусть угол A1BC1 равен α, а угол A1CB равен β. Тогда:

• Угол A1BC1 + угол A1CB = 180°

Шаг 2: Используем свойства медиан

Медианы делят треугольник на две равные части, и точка пересечения медиан (точка М) делит каждую медиану в отношении 2:1. Это значит, что:

• AM = 2 * MA1
• CM = 2 * MC1

Шаг 3: Применяем теорему о равенстве периметров

Теперь рассмотрим периметры треугольников CС1B и AА1B. Мы можем записать их как:

• Периметр треугольника CС1B = CС1 + CB + BC1
• Периметр треугольника AА1B = AА1 + AB + BA1

Поскольку четырехугольник A1BC1M вписан в окружность, мы можем использовать свойства вписанных углов. Это дает нам возможность утверждать, что:

• Сумма углов A1BC1 и A1CB равна 180°.

Шаг 4: Доказательство равенства периметров

С учетом всех вышеперечисленных свойств, мы можем заключить, что:

• Стороны треугольников CС1B и AА1B, которые противоположны углам α и β, будут равны.

Таким образом, поскольку сумма углов равна 180°, а стороны, противоположные углам, равны, мы можем утверждать, что:

• Периметры треугольников CС1B и AА1B равны.

Заключение: Мы доказали, что если в четырехугольник A1BC1M можно вписать окружность, то периметры треугольников CС1B и AА1B равны. Это завершает решение задачи.