Радиус шарового сектора равен R, а угол между радиусами в осевом сечении сектора составляет 120°. Какой объём этого сектора?

Геометрия 11 класс Объём шарового сектора геометрия 11 класс радиус шаровой сектор угол объём осевое сечение формула объёма задачи по геометрии математические задачи Новый

Давайте разберемся, как найти объем шарового сектора с заданными параметрами. У нас есть радиус R и угол между радиусами в осевом сечении сектора, равный 120°.

Объем V шарового сектора можно вычислить по следующей формуле:

V = (1/3) h S

где h - высота сектора, а S - площадь основания сектора.

Для начала, найдем высоту h шарового сектора. Высота h определяется следующим образом:

• Сначала мы находим радиус основания сектора, который равен R * sin(α/2), где α - это угол между радиусами. В нашем случае α = 120°.
• Считаем: R * sin(120°) = R * (√3 / 2) = (R√3) / 2.

Теперь высота h сектора равна R - R * cos(120°). Так как cos(120°) = -1/2, мы имеем:

• h = R - R * (-1/2) = R + R/2 = (3R)/2.

Теперь мы можем найти площадь основания S:

• Площадь основания S будет равна π * (R * sin(60°))^2, так как основание представляет собой круг с радиусом R * sin(60°).
• Значит, S = π * ((R * (√3 / 2))^2) = π * (3R^2 / 4) = (3πR^2) / 4.

Теперь подставим значения h и S в формулу для объема V:

• V = (1/3) * h * S = (1/3) * (3R/2) * (3πR^2 / 4).
• Упрощаем: V = (1/3) * (3R/2) * (3πR^2 / 4) = (3πR^3) / 8.

Таким образом, объем шарового сектора с радиусом R и углом 120° составляет:

V = (3πR^3) / 8