СРОЧНО! Основание равнобедренного остроугольного треугольника составляет 48, а радиус описанной окружности равен 25. Каково расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей этого треугольника?

Геометрия 11 класс Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника равнобедренный треугольник радиус описанной окружности расстояние между центрами окружностей геометрия 11 класс задачи по геометрии Новый

Для решения задачи нам нужно найти расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей равнобедренного треугольника. Давайте разберем шаги решения.

Шаг 1: Определим параметры треугольника.

• Обозначим основание треугольника как AB = 48.
• Радиус описанной окружности R = 25.
• Обозначим вершину треугольника C, а его стороны как AC и BC.

Шаг 2: Найдем высоту треугольника.

Поскольку треугольник равнобедренный, высота из вершины C на основание AB делит его пополам. Обозначим точку D как основание высоты из точки C на отрезок AB. Тогда AD = DB = 24.

Теперь воспользуемся теоремой о радиусе описанной окружности:

R = a / (2 * sin(A)), где a - основание, A - угол при вершине C.

Сначала найдем сторону AC (или BC), используя радиус описанной окружности.

Шаг 3: Найдем угол A.

Для этого воспользуемся формулой:

• AC = R * sin(A).

Шаг 4: Найдем высоту CD.

Используя теорему Пифагора в треугольнике ACD, получаем:

• AC^2 = AD^2 + CD^2.

Подставим известные значения:

• AC^2 = R^2 = 25^2 = 625.
• AD^2 = 24^2 = 576.

Тогда:

• 625 = 576 + CD^2.
• CD^2 = 625 - 576 = 49.
• CD = 7.

Шаг 5: Найдем радиус вписанной окружности r.

Для равнобедренного треугольника формула для радиуса вписанной окружности:

r = (a + b - c) / 2, где a и b - равные стороны, c - основание. Однако, мы можем воспользоваться другой формулой:

r = S / p, где S - площадь треугольника, p - полупериметр.

Шаг 6: Найдем площадь S треугольника.

Площадь S равнобедренного треугольника можно вычислить как:

S = (1/2) * основание * высота = (1/2) * 48 * 7 = 168.

Шаг 7: Найдем полупериметр p.

Полупериметр p = (a + b + c) / 2 = (2*AC + AB) / 2.

Сначала найдем AC. Из предыдущих расчетов:

• AC = sqrt(625) = 25.
• Тогда p = (25 + 25 + 48) / 2 = 49.

Шаг 8: Найдем радиус вписанной окружности r.

Теперь можем найти r:

r = S / p = 168 / 49 = 24 / 7.

Шаг 9: Найдем расстояние между центрами окружностей.

Расстояние d между центрами вписанной и описанной окружностей можно найти по формуле:

d = sqrt(R^2 - 2Rr), где r - радиус вписанной окружности.

Подставляем известные значения:

• d = sqrt(25^2 - 2 * 25 * (24/7)) = sqrt(625 - 600/7).
• d = sqrt(625 - 85.71) = sqrt(539.29) ≈ 23.26.

Таким образом, расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей равнобедренного треугольника составляет примерно 23.26.