Стороны основания прямого параллелепипеда равны 3 и 5 см, угол между ними составляет 120 градусов, а большая диагональ параллелепипеда равна √65 см. Как можно определить длины бокового ребра и меньшей диагонали параллелепипеда?

Геометрия 11 класс Прямые и наклонные параллелепипеды параллелепипед длина бокового ребра меньшая диагональ геометрия 11 класс решение задач углы и стороны свойства параллелепипеда формулы геометрии Новый

Для решения задачи начнем с определения всех необходимых элементов параллелепипеда, а затем перейдем к вычислениям.

Шаг 1: Определение длины бокового ребра

Сначала найдем длину бокового ребра параллелепипеда, обозначим его как h. Мы знаем, что большая диагональ D параллелепипеда вычисляется по формуле:

D = √(a² + b² + h²),

где a и b - длины сторон основания. В нашем случае a = 3 см, b = 5 см, и D = √65 см. Подставим известные значения в формулу:

1. Подставим a и b в формулу:
2. D = √(3² + 5² + h²) = √(9 + 25 + h²) = √(34 + h²).
3. Теперь приравняем это к известной длине диагонали:
4. √(34 + h²) = √65.
5. Возведем обе стороны в квадрат:
6. 34 + h² = 65.
7. Теперь решим уравнение для h²:
8. h² = 65 - 34 = 31.
9. Следовательно, h = √31.

Шаг 2: Определение меньшей диагонали основания

Теперь найдем меньшую диагональ основания параллелепипеда. Обозначим её как d. Меньшая диагональ основания может быть найдена по формуле:

d = √(a² + b² - 2ab * cos(угол)),

где угол между сторонами основания равен 120 градусов. Подставим известные значения:

1. Сначала найдем cos(120°):
2. cos(120°) = -0.5.
3. Теперь подставим a, b и cos в формулу для d:
4. d = √(3² + 5² - 2 * 3 * 5 * (-0.5)) = √(9 + 25 + 15) = √49.
5. Таким образом, d = 7 см.

Ответ:

Длина бокового ребра параллелепипеда составляет √31 см, а меньшая диагональ основания равна 7 см.