Существует ли выпуклый 1998-угольник, все углы которого могут быть выражены целыми числами в градусах?

Геометрия 11 класс Углы многоугольников выпуклый 1998-угольник углы целые числа геометрия 11 класс свойства многоугольников угол в градусах Новый

Чтобы ответить на вопрос о существовании выпуклого 1998-угольника, все углы которого могут быть выражены целыми числами в градусах, нам необходимо рассмотреть некоторые свойства многоугольников и углов.

Для любого выпуклого многоугольника сумма его внутренних углов может быть рассчитана по формуле:

Сумма углов = (n - 2) * 180

где n - количество сторон многоугольника. В нашем случае n = 1998, поэтому:

• Сумма углов = (1998 - 2) * 180 = 1996 * 180 = 359280 градусов.

Теперь, чтобы все углы были целыми числами, сумма углов (359280) должна быть равна сумме всех углов, которые мы можем выразить как целые числа. Углы в выпуклом многоугольнике также должны удовлетворять условию, что каждый угол должен быть больше 0 и меньше 180 градусов.

Теперь давайте посмотрим на количество углов. Если мы обозначим углы многоугольника как a1, a2, ..., a1998, то у нас есть следующее уравнение:

a1 + a2 + ... + a1998 = 359280

Также для каждого угла выполняется условие:

• 0 < ai < 180 для всех i от 1 до 1998.

Для того чтобы все углы были целыми числами, мы можем выразить углы как:

ai = 180 - bi

где bi - некоторые положительные числа, которые мы также хотим, чтобы были целыми. Таким образом, мы можем записать:

(180 - b1) + (180 - b2) + ... + (180 - b1998) = 359280

Упрощая это уравнение, получаем:

1998 * 180 - (b1 + b2 + ... + b1998) = 359280

Это уравнение можно переписать как:

b1 + b2 + ... + b1998 = 1998 * 180 - 359280

Теперь подставим значения:

b1 + b2 + ... + b1998 = 359640 - 359280 = 360

Таким образом, сумма положительных целых чисел b1, b2, ..., b1998 равна 360. Это возможно, поскольку мы можем выбрать такие значения для b, которые будут удовлетворять условиям целочисленности и положительности.

Например, можно взять 1998 углов равными 180 - 1 = 179 градусов, и тогда сумма углов будет равна 1998 * 179 = 357762, что меньше 359280. Следовательно, мы можем найти множество комбинаций целых углов, которые в сумме дадут 359280.

Таким образом, выпуклый 1998-угольник, все углы которого могут быть выражены целыми числами в градусах, действительно существует.