Для решения данной задачи начнем с анализа информации, которую мы имеем.

У нас есть точки A₁ и A₂, которые находятся на плоскости α и β соответственно. Точка K находится между этими плоскостями. Дано отношение отрезков A₁K и A₁A₂, а также длина отрезка B₁B₂.

1. Запишем данное отношение:

• A₁K : A₁A₂ = 1 : 3.

Это означает, что если мы обозначим длину отрезка A₁K как x, то длина отрезка A₁A₂ будет равна 3x. Таким образом, можно выразить длину A₁A₂ через A₁K:

• A₁A₂ = A₁K + K A₂ = x + 3x = 4x.

2. Теперь определим длину отрезка A₁A₂:

• A₁A₂ = 4x.

3. Из условия задачи известно, что длина отрезка B₁B₂ равна 15. Поскольку B₁ и B₂ также находятся на параллельных плоскостях, можно сделать вывод, что отрезок B₁B₂ также можно представить как сумму отрезков B₁K и KB₂:

• B₁B₂ = B₁K + KB₂.

4. Теперь, чтобы найти длину отрезка KB₁, нам нужно выразить длины отрезков B₁K и KB₂. Мы знаем, что расстояние между параллельными плоскостями α и β остается постоянным. Поскольку A₁A₂ и B₁B₂ - это два отрезка, находящиеся между этими плоскостями, можно сказать, что они имеют одинаковую длину в проекции на вертикальную ось.

5. Таким образом, длина отрезка A₁A₂ равна длине отрезка B₁B₂, и мы можем записать:

• A₁A₂ = B₁B₂ = 15.

6. Теперь у нас есть система уравнений:

• 4x = 15,
• KB₁ + KB₂ = 15.

7. Найдем значение x:

• x = 15 / 4 = 3.75.

8. Теперь, зная, что A₁K = x = 3.75 и A₁A₂ = 15, мы можем найти KB₁:

• KB₁ = B₁B₂ - KB₂ = 15 - (A₁A₂ - A₁K) = 15 - (15 - 3.75) = 3.75.

Таким образом, длина отрезка KB₁ равна 3.75.

Ответ: Длина отрезка KB₁ равна 3.75.