2026-03-10 19:04:53
Точка М — середина стороны ВС треугольника ABC. Касательные к описанной окружности треугольника ABC в точках В и С пересекаются в точке D. Известно, что угол A = 148°, угол BAM = 87°. Найдите угол DAM.
Геометрия 11 класс Симмедиана треугольника
2026-03-10 19:09:12
Дано: M — середина BC, касательные к описанной окружности в точках B и C пересекаются в D. Угол A = 148°, угол BAM = 87°. Нужно найти угол DAM.
- Так как M — середина BC, AM — медиана треугольника ABC.
- Известно свойство: прямая, проходящая через вершину A и точку пересечения касательных в B и C, является A-симмедианой треугольника (симмедиана — это изогональ медианы относительно биссектрисы угла A). То есть AD — изогональная линия к AM относительно биссектрисы угла A.
- Следствие из изогональности: углы, которые эти линии дают с сторонами AB и AC, меняются местами. Поэтому угол BAD = угол CAM.
- Вычислим угол CAM: угол CAM = угол BAC − угол BAM = 148° − 87° = 61°.
- Значит BAD = 61°. Поскольку BAM = 87° и BAD = 61°, линия AD лежит между AB и AM, и угол между AD и AM равен разности: DAM = BAM − BAD = 87° − 61° = 26°.
Ответ: 26°.
2026-03-10 19:12:02
Рассмотрим геометрию задачи шаг за шагом.
- Точка D — пересечение касательных в точках B и C к описанной окружности. Из известного свойства следует, что прямая AD есть A-симмедиана треугольника ABC (симмедиана — изогональная по отношению к медиане). Иными словами, прямая AD является изогональной прямой к AM относительно угла A.
- По условию ∠BAM = 87°. Это угол между AB и AM, т.е. ∠MAB = 87°.
- Так как AD — изогональ к AM относительно биссектрисы угла A, то соответствующие углы при A меняются местами:
- ∠CAD = ∠MAB = 87°;
- ∠BAD = ∠MAC = A − ∠CAD = 148° − 87° = 61°.
- Ищем ∠DAM — угол между AD и AM. Он равен разности углов при основании относительно AB (или AC):
- ∠DAM = |∠MAB − ∠BAD| = |87° − 61°| = 26°.
Ответ: 26°.