Чтобы доказать, что треугольник ABC является равнобедренным, нам нужно показать, что хотя бы две его стороны равны. Мы можем сделать это, сначала преобразовав полярные координаты вершин в декартовы координаты, а затем вычислив длины сторон треугольника.

Вспомним, что в полярных координатах точка задается как (r; θ), где r — радиус, а θ — угол. Декартовы координаты (x, y) можно найти по следующим формулам:

• x = r * cos(θ)
• y = r * sin(θ)

Теперь найдем декартовы координаты каждой вершины:

1. Для точки A(5; П/2):
• x_A = 5 * cos(П/2) = 5 * 0 = 0
• y_A = 5 * sin(П/2) = 5 * 1 = 5
2. Для точки B(8; 5П/6):
• x_B = 8 * cos(5П/6) = 8 * (-√3/2) = -4√3
• y_B = 8 * sin(5П/6) = 8 * (1/2) = 4
3. Для точки C(3; 7П/6):
• x_C = 3 * cos(7П/6) = 3 * (-√3/2) = -3√3/2
• y_C = 3 * sin(7П/6) = 3 * (-1/2) = -3/2

Теперь у нас есть координаты вершин:

• A(0; 5)
• B(-4√3; 4)
• C(-3√3/2; -3/2)

Теперь мы можем вычислить длины сторон треугольника AB, BC и CA, используя формулу для расстояния между двумя точками (x1, y1) и (x2, y2):

Длина = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

1. Длина стороны AB:

AB = √((-4√3 - 0)² + (4 - 5)²) = √((16 * 3) + 1) = √(48 + 1) = √49 = 7

2. Длина стороны BC:

BC = √((-3√3/2 + 4√3)² + (-3/2 - 4)²) = √((5√3/2)² + (-11/2)²) = √((25 * 3 / 4) + (121 / 4)) = √(75/4 + 121/4) = √(196/4) = √49 = 7

3. Длина стороны CA:

CA = √((0 + 3√3/2)² + (5 + 3/2)²) = √((3√3/2)² + (13/2)²) = √((27/4) + (169/4)) = √(196/4) = √49 = 7

Теперь мы видим, что все три стороны равны:

• AB = 7
• BC = 7
• CA = 7

Следовательно, треугольник ABC является равнобедренным (на самом деле, он равносторонний, так как все стороны равны). Таким образом, мы доказали, что треугольник ABC является равнобедренным.