У основания прямой призмы расположен прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см. Диагональ боковой грани, которая включает гипотенузу этого треугольника, образует угол 30° с основанием. Каким образом можно определить полную поверхность этой призмы?

Геометрия 11 класс Полная поверхность прямой призмы прямая призма прямоугольный треугольник катеты 5 см и 12 см диагональ боковой грани угол 30° полная поверхность призмы геометрия 11 класс Новый

Чтобы определить полную поверхность прямой призмы, нам нужно рассмотреть несколько шагов. Начнем с анализа данных, которые у нас есть.

Шаг 1: Определение гипотенузы треугольника

У нас есть прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см. Чтобы найти гипотенузу (c), используем теорему Пифагора:

• c = √(a² + b²), где a и b - катеты треугольника.
• Подставляем значения: c = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13 см.

Шаг 2: Определение высоты призмы

Диагональ боковой грани образует угол 30° с основанием. Это означает, что мы можем использовать тригонометрию для нахождения высоты призмы (h). Обозначим диагональ боковой грани как d.

• По определению косинуса: cos(30°) = h/d.
• Также мы можем найти d, используя гипотенузу: d = 13 см (гипотенуза треугольника).
• Теперь подставим значения: cos(30°) = √3/2.
• Таким образом, h = d * cos(30°) = 13 * √3/2.

Шаг 3: Определение площади основания призмы

Площадь основания (S) прямой призмы равна площади прямоугольного треугольника:

• S = (1/2) * a * b = (1/2) * 5 * 12 = 30 см².

Шаг 4: Определение площади боковой поверхности призмы

Площадь боковой поверхности (P) призмы равна периметру основания, умноженному на высоту:

• Периметр основания (P_base) = a + b + c = 5 + 12 + 13 = 30 см.
• P = P_base * h = 30 * (13 * √3/2).

Шаг 5: Полная поверхность призмы

Полная поверхность (S_total) призмы равна сумме площади боковой поверхности и двух площадей основания:

• S_total = P + 2 * S = P + 2 * 30.

Теперь подставим все известные значения и вычислим полную поверхность призмы.