Чтобы найти точку, симметричную данной точке Р(4; 1; 6) относительно прямой, заданной системой уравнений, нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Сначала преобразуем систему уравнений в векторную форму, чтобы определить направление прямой. У нас есть два уравнения:

• 1) x - y - 4z + 12 = 0
• 2) 2x + y - 2z + 3 = 0

Мы можем выразить переменные x и y через z. Для этого решим систему:

1. Из первого уравнения выразим y: y = x - 4z + 12.
2. Подставим y во второе уравнение:
3. 2x + (x - 4z + 12) - 2z + 3 = 0.
4. Упростим: 3x - 6z + 15 = 0.
5. Отсюда получаем: x = 2z - 5.

Теперь подставим x в выражение для y:

1. y = (2z - 5) - 4z + 12 = -2z + 7.

Таким образом, мы получили параметрические уравнения прямой:

• x = 2z - 5,
• y = -2z + 7,
• z = z.

Теперь мы можем взять производный вектор направления прямой, который можно представить как: (2, -2, 1).

Теперь нам нужно найти точку на прямой, которая будет ближайшей к точке Р(4; 1; 6). Для этого подставим z = 6 (координата z точки Р) в параметрические уравнения:

1. x = 2*6 - 5 = 7,
2. y = -2*6 + 7 = -5.

Таким образом, точка на прямой, ближайшая к Р, будет Q(7; -5; 6).

Теперь найдем вектор PQ, который будет равен:

• PQ = Q - P = (7 - 4; -5 - 1; 6 - 6) = (3; -6; 0).

Симметричная точка R относительно прямой будет находиться на расстоянии, равном двойной длине вектора PQ от точки P. Поэтому:

• R = P + 2 * PQ = (4; 1; 6) + 2 * (3; -6; 0) = (4 + 6; 1 - 12; 6 + 0) = (10; -11; 6).

Таким образом, точка, симметричная точке Р(4; 1; 6) относительно данной прямой, имеет координаты R(10; -11; 6).