В 2 варианте задачи даны точки A(2; -1; 4), B(3; 1; 3) и C(2; 2; 5). Какой угол образуют векторы AB и AC?

Геометрия 11 класс Угол между векторами в пространстве угол векторов векторы AB и AC координаты точек геометрия 11 класс задачи по геометрии Новый

Чтобы найти угол между векторами AB и AC, нам нужно сначала определить эти векторы. Векторы AB и AC можно найти, вычитая координаты начальной точки от координат конечной точки.

Шаг 1: Найдем векторы AB и AC.

• Вектор AB = B - A = (3 - 2; 1 - (-1); 3 - 4) = (1; 2; -1).
• Вектор AC = C - A = (2 - 2; 2 - (-1); 5 - 4) = (0; 3; 1).

Шаг 2: Найдем длины векторов AB и AC.

• Длина вектора AB = √(1² + 2² + (-1)²) = √(1 + 4 + 1) = √6.
• Длина вектора AC = √(0² + 3² + 1²) = √(0 + 9 + 1) = √10.

Шаг 3: Найдем скалярное произведение векторов AB и AC.

Скалярное произведение векторов AB и AC вычисляется по формуле:

AB · AC = Ax * Cx + Ay * Cy + Az * Cz,

где A = (Ax, Ay, Az) и C = (Cx, Cy, Cz).

• AB · AC = (1 * 0) + (2 * 3) + (-1 * 1) = 0 + 6 - 1 = 5.

Шаг 4: Найдем угол между векторами.

Угол θ между векторами можно найти с помощью формулы:

cos(θ) = (AB · AC) / (|AB| * |AC|),

где |AB| и |AC| - длины векторов, а AB · AC - их скалярное произведение.

• cos(θ) = 5 / (√6 * √10) = 5 / √60 = 5 / (2√15).

Теперь, чтобы найти угол θ, используем арккосинус:

θ = arccos(5 / (2√15)).

Ответ: Угол между векторами AB и AC равен arccos(5 / (2√15)).