В цилиндр вписана правильная треугольная призма. Какой объем этой призмы, если радиус основания цилиндра равен √2, а его образующая равна √3?

Геометрия 11 класс Объемы тел вращения и многогранников объем правильной треугольной призмы цилиндр и призма радиус основания цилиндра геометрия 11 класс задачи на объем призмы Новый

Чтобы найти объем правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Найдем площадь основания призмы.

Основание правильной треугольной призмы является правильным треугольником. Радиус описанной окружности этого треугольника равен радиусу основания цилиндра, который равен √2.

Формула радиуса описанной окружности правильного треугольника через его сторону a выглядит так:

R = a / (sqrt(3))

Где R — радиус описанной окружности, a — длина стороны треугольника.

Из этой формулы мы можем выразить сторону треугольника:

a = R * sqrt(3) = √2 * sqrt(3) = √6.

Шаг 2: Найдем площадь основания треугольной призмы.

Площадь S правильного треугольника можно вычислить по формуле:

S = (a^2 * sqrt(3)) / 4.

Подставим значение a:

S = (√6)^2 * sqrt(3) / 4 = 6 * sqrt(3) / 4 = (3 * sqrt(3)) / 2.

Шаг 3: Найдем объем призмы.

Объем V правильной треугольной призмы можно вычислить по формуле:

V = S * h,

где S — площадь основания, h — высота призмы. В данном случае высота призмы равна образующей цилиндра, которая равна √3.

Теперь подставим значения:

V = (3 * sqrt(3) / 2) * √3 = (3 * 3) / 2 = 9 / 2.

Ответ:

Объем правильной треугольной призмы, вписанной в цилиндр, равен 9/2.