В конус вписана правильная четырехугольная пирамида. Сторона основания пирамиды равна 3 корня из 2 см. Боковое ребро пирамиды наклонено к основанию пирамиды под углом 45 градусов. Какой объем имеет конус?

Геометрия 11 класс Волюм конуса и пирамиды объем конуса правильная четырехугольная пирамида геометрия 11 класс наклон бокового ребра сторона основания пирамиды Новый

Для нахождения объема конуса, в который вписана правильная четырехугольная пирамида, нам сначала нужно определить радиус основания конуса и высоту конуса. Давайте разберем решение по шагам.

Шаг 1: Определение высоты пирамиды

Сначала найдем высоту пирамиды. У нас есть сторона основания пирамиды, равная 3 корня из 2 см. Так как основание пирамиды является квадратом, его стороны равны:

• Сторона основания = 3√2 см

Теперь, учитывая, что боковое ребро пирамиды наклонено к основанию под углом 45 градусов, можем использовать тригонометрию для нахождения высоты. Обозначим высоту пирамиды как h.

Из прямоугольного треугольника, образованного высотой, половиной стороны основания и боковым ребром, мы можем записать:

• tan(45°) = h / (3√2 / 2)

Так как tan(45°) = 1, у нас получается:

• 1 = h / (3√2 / 2)

Отсюда находим h:

• h = 3√2 / 2 см

Шаг 2: Определение радиуса основания конуса

Радиус основания конуса равен половине длины диагонали основания пирамиды. Длина диагонали квадрата вычисляется по формуле:

• Диагональ = √(сторона² + сторона²) = √(3√2)² + (3√2)² = √(18 + 18) = √36 = 6 см

Следовательно, радиус основания конуса будет:

• r = 6 / 2 = 3 см

Шаг 3: Определение высоты конуса

Высота конуса равна высоте пирамиды, поскольку конус вписан в пирамиду. Таким образом:

• h_conus = h = 3√2 / 2 см

Шаг 4: Вычисление объема конуса

Объем конуса можно вычислить по формуле:

• V = (1/3) * π * r² * h

Подставим найденные значения:

• V = (1/3) * π * (3)² * (3√2 / 2)
• V = (1/3) * π * 9 * (3√2 / 2)
• V = (27√2 / 6) * π
• V = (9√2 / 2) * π см³

Таким образом, объем конуса составляет:

Ответ:

Объем конуса равен (9√2 / 2) * π см³.