Похожие вопросы
2026-03-10 22:10:21
В кубе ABCD проведено сечение MNK, где точка M — середина ребра AD, точка N лежит на ребре AB так, что AN : NB = 1 : 13, точка K — на ребре AC, такая, что AK : KC = 1 : 4. Найдите угол между плоскостями MNK и ABC. Методов координат решать НЕ надо! Нужен рисунок.
Геометрия 11 класс Угол между плоскостями в пространстве
2026-03-10 22:12:12
Короткое пояснение к рисунку (как рисовать):
- Изобразите вершину A и три взаимно перпендикулярных ребра AB, AC, AD, исходящих из A (куб "от вершины A"). Отложите на AB отрезок AN так, что AN : NB = 1 : 13 (N очень близко к A). Отложите на AC отрезок AK так, что AK : KC = 1 : 4 (K ближе к A). Отметьте точку M — середину ребра AD.
- Соедините точки N, K и M: прямая NK лежит в плоскости ABC (т.к. N и K лежат в этой плоскости), а точка M — вне этой плоскости.
- На рисунке дополнительно покажите перпендикуляр из M на плоскость ABC (это будет MA, так как AD перпендикулярно плоскости ABC и M лежит на AD), и из M в плоскости MNK опустите перпендикуляр MP к линии NK (P — точка на NK).
Решение (по шагам):
- Обозначим длину ребра куба через a. Тогда
- AN = a * (1/14) = a/14,
- AK = a * (1/5) = a/5,
- MA = половина AD = a/2.
- Плоскость ABC и плоскость MNK пересекаются по прямой NK (так как N и K принадлежат обеим плоскостям). Угол между плоскостями равен углу между отрезком MP (в плоскости MNK) и его проекцией на плоскость ABC, т.е. отрезком PA, где A — проекция M на плоскость ABC (в нашем случае проекция M на плоскость ABC — точка A, потому что AD ⟂ плоскости ABC).
- Пусть P — точка пересечения NK с перпендикуляром из A на NK в плоскости ABC (то есть AP ⟂ NK и P лежит на NK). Тогда искомый угол φ = ∠(MP, PA). В прямоугольном треугольнике MAP угол при P удовлетворяет tg φ = MA / AP (так как треугольник MAP прямоугольный при A: MA ⟂ плоскости ABC, значит MA ⟂ AP).
- Осталось найти AP — расстояние от точки A до прямой NK в плоскости ABC. Треугольник ANK — прямоугольный (угол при A = 90°), его площадь S = (1/2) * AN * AK. Расстояние от A до прямой NK равно (2S) / |NK|, то есть AP = (AN * AK) / |NK|. Но |NK| = sqrt(AN^2 + AK^2) (так как AN ⟂ AK). Подставляем численные выражения: AN = a/14, AK = a/5, следовательно AP = (a/14 * a/5) / (a * sqrt((1/14)^2 + (1/5)^2)) = (a/70) / (a * sqrt((1/196) + (1/25))) = (1/70) / sqrt((25 + 196)/4900) = (1/70) * (70 / sqrt(221)) = a / sqrt(221).
- Теперь tg φ = MA / AP = (a/2) / (a / sqrt(221)) = sqrt(221) / 2.
- Удобнее получить косинус угла. В треугольнике MAP MP = sqrt(MA^2 + AP^2) = a * sqrt(1/4 + 1/221) = a * sqrt((221 + 4)/884) = a * (15 / (2 sqrt(221))). Тогда cos φ = AP / MP = (a / sqrt(221)) / (15a / (2 sqrt(221))) = 2 / 15.
- Итак, угол между плоскостями MNK и ABC удовлетворяет cos φ = 2/15. Можно записать окончательно: φ = arccos(2/15) ≈ 82.34°.
Ответ: cos φ = 2/15, φ = arccos(2/15) ≈ 82.34°.