В окружность основания цилиндра вписан правильный треугольник. Какой объем имеет пирамида, высота которой равна высоте цилиндра, если основание этой пирамиды составляет тот же треугольник, а объем цилиндра равен π√3?

Геометрия 11 класс Объемы фигур объём пирамиды высота цилиндра правильный треугольник объём цилиндра геометрия 11 класс вписанный треугольник задачи по геометрии Новый

Для решения задачи начнем с анализа данных, которые у нас есть.

• Объем цилиндра равен π√3.
• В окружность основания цилиндра вписан правильный треугольник.
• Высота пирамиды равна высоте цилиндра.

Объем цилиндра можно выразить по формуле:

V = S * h

где V — объем, S — площадь основания, h — высота.

Поскольку объем цилиндра равен π√3, можем записать:

π√3 = S * h

Теперь, чтобы найти объем пирамиды, используем формулу:

V_пирамида = (1/3) * S_основания * h

Сначала найдем площадь основания пирамиды, которая совпадает с площадью правильного треугольника. Площадь правильного треугольника можно вычислить по формуле:

S = (a^2 * √3) / 4

где a — длина стороны треугольника.

Теперь нам нужно связать радиус окружности, в которую вписан треугольник, с длиной его стороны. Для правильного треугольника, вписанного в окружность, радиус R можно выразить как:

R = a / (√3)

Таким образом, если мы обозначим радиус окружности, в которую вписан треугольник, как R, то:

a = R * √3

Теперь можем выразить площадь основания треугольника через радиус окружности:

S = (R^2 * 3) / 4

Подставим это значение в уравнение объема цилиндра:

π√3 = (R^2 * 3) / 4 * h

Теперь найдем высоту цилиндра h:

h = (4π√3) / (3R^2)

Теперь можем найти объем пирамиды:

V_пирамида = (1/3) * S * h

Подставим S и h:

V_пирамида = (1/3) * ((R^2 * 3) / 4) * ((4π√3) / (3R^2))

Упрощая это выражение, мы видим, что R^2 сокращается:

V_пирамида = (1/3) * (3 / 4) * (4π√3 / 3) = (1/3) * π√3 = π√3 / 3

Таким образом, объем пирамиды равен:

V_пирамида = π√3 / 3

Ответ: объем пирамиды равен π√3 / 3.