В окружность вписана равносторонняя трапеция, у которой угол основания равен 30 градусам. Какова средняя линия этой трапеции при высоте 7 см?

Геометрия 11 класс Вписанные фигуры и их свойства равносторонняя трапеция угол основания 30 градусов средняя линия трапеции высота 7 см окружность и трапеция Новый

Чтобы найти среднюю линию равносторонней трапеции, вписанной в окружность, необходимо сначала вспомнить, что средняя линия трапеции равна среднему арифметическому оснований. В нашем случае, основанием трапеции являются два параллельных отрезка, и угол основания равен 30 градусам.

Давайте обозначим:

• h - высота трапеции (в данном случае h = 7 см);
• AB - верхнее основание;
• CD - нижнее основание.

Поскольку трапеция равносторонняя, это значит, что боковые стороны равны и образуют равные углы с основаниями. Угол между боковой стороной и нижним основанием (угол C) равен 30 градусам. Таким образом, угол A тоже равен 30 градусам.

Теперь, чтобы найти длины оснований, воспользуемся свойствами треугольника. Мы можем провести высоту из точек A и B на основание CD, и она будет равна 7 см. Поскольку у нас равносторонняя трапеция, мы можем рассмотреть треугольники, образованные высотой и боковыми сторонами:

• Обозначим отрезок, который опускается из точки A на основание CD, как x.
• Тогда отрезок, который опускается из точки B, также будет равен x.
• Таким образом, длина нижнего основания CD будет равна x + AB + x = AB + 2x.

Теперь найдем x. В треугольнике, образованном высотой и боковой стороной, мы можем использовать тангенс угла:

tan(30°) = противолежащий катет / прилежащий катет = h / x.

Таким образом, мы можем выразить x:

x = h / tan(30°) = 7 / (1/√3) = 7√3 см.

Теперь можем найти длины оснований:

• AB = 2x * sin(30°) = 2 * 7√3 * 1/2 = 7√3 см;
• CD = 7√3 + 2 * 7√3 = 7√3 + 14√3 = 21√3 см.

Теперь, чтобы найти среднюю линию, используем формулу:

Средняя линия = (AB + CD) / 2 = (7√3 + 21√3) / 2 = (28√3) / 2 = 14√3 см.

Таким образом, средняя линия равносторонней трапеции при высоте 7 см равна 14√3 см.