В окружности, проходящей через вершины A, C и D прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC, которая пересекает меньшую боковую сторону AB в точке P и касается прямой BC, известно, что AD = CD. Каковы следующие задачи?

1. Докажите, что CP — биссектриса угла ACB.
2. В каком отношении прямая DP делит площадь трапеции?

Геометрия 11 класс Биссектрисы и свойства окружностей в трапециях геометрия 11 класс окружность трапеция биссектрисы угол ACB площадь трапеции свойства трапеции задачи по геометрии Новый

Для решения данной задачи мы будем использовать свойства окружности, трапеции и некоторые теоремы о биссектрисах.

1. Доказательство, что CP — биссектриса угла ACB.

• Поскольку ABCD — прямоугольная трапеция, то угол ACB является углом между боковыми сторонами AB и BC.
• Из условия задачи известно, что окружность проходит через точки A, C и D, а также касается прямой BC в точке P.
• Так как окружность касается прямой BC, это означает, что угол, образованный радиусом CP и касательной BC в точке P, равен 90 градусов.
• Также, по свойству касательной к окружности, угол между касательной и хордой (в данном случае CP) равен углу, заключенному между хордой и продолжением другой хордой (в данном случае AP и DP).
• Таким образом, угол ACP равен углу BCP.
• Это значит, что CP делит угол ACB пополам, что и доказывает, что CP является биссектрисой угла ACB.

2. В каком отношении прямая DP делит площадь трапеции?

• Для нахождения отношения, в котором прямая DP делит площадь трапеции ABCD, воспользуемся свойствами трапеции и биссектрисы.
• Поскольку CP — биссектриса угла ACB, то по теореме о биссектрисе, которая утверждает, что биссектрисы делят противоположные стороны в отношении длин прилежащих сторон, можно сделать вывод о том, что DP делит сторону AB в том же отношении, в котором расположены стороны AD и BC.
• Поскольку AD = CD (по условию задачи), это означает, что отрезок DP делит площадь трапеции ABCD на две части в равных отношениях.
• Таким образом, прямая DP делит площадь трапеции ABCD в отношении 1:1.

В заключение, мы доказали, что CP является биссектрисой угла ACB, а прямая DP делит площадь трапеции ABCD в отношении 1:1.