В основании прямой призмы расположен квадрат со стороной 1. Высота призмы составляет корень из 7. Какое расстояние между большей диагональю призмы и скрещивающейся с ней диагональю боковой грани?

Геометрия 11 класс Прямые призмы и их свойства прямая призма квадрат высота призмы диагонали расстояние геометрия 11 класса Новый

Чтобы найти расстояние между большей диагональю прямой призмы и скрещивающейся с ней диагональю боковой грани, давайте разберем задачу по шагам.

Шаг 1: Определим координаты вершин призмы.

• Пусть основание призмы находится в плоскости XY, а высота по оси Z.
• Координаты вершин основания квадрата со стороной 1 можно задать так:
  • A(0, 0, 0)
  • B(1, 0, 0)
  • C(1, 1, 0)
  • D(0, 1, 0)
• Вершины верхней грани будут:
  • A'(0, 0, √7)
  • B'(1, 0, √7)
  • C'(1, 1, √7)
  • D'(0, 1, √7)

Шаг 2: Найдем координаты диагоналей.

• Большая диагональ призмы соединяет точки A и C'. Ее координаты:
  • A(0, 0, 0)
  • C'(1, 1, √7)
• Диагональ боковой грани, например, AD', соединяет точки A и D'. Ее координаты:
  • A(0, 0, 0)
  • D'(0, 1, √7)

Шаг 3: Найдем уравнения этих диагоналей.

• Для большей диагонали AC':
  • Уравнение прямой в пространстве: x = t, y = t, z = (√7)t, где t меняется от 0 до 1.
• Для диагонали AD':
  • Уравнение прямой в пространстве: x = 0, y = t, z = (√7)t, где t меняется от 0 до 1.

Шаг 4: Найдем точку пересечения перпендикуляра между этими диагоналями.

• Поскольку обе диагонали имеют общую точку A(0, 0, 0), мы можем найти расстояние от точки C' до прямой AD'.
• Расстояние от точки до прямой в пространстве можно найти по формуле: d = |(P1 - P0) * n| / |n|, где P1 - точка, P0 - точка на прямой, n - направляющий вектор прямой.

Шаг 5: Найдем направляющие векторы.

• Для AC': v1 = (1, 1, √7)
• Для AD': v2 = (0, 1, √7)

Шаг 6: Вычислим расстояние.

• Сначала найдем вектор, соединяющий точки C' и A: C' - A = (1, 1, √7) - (0, 0, 0) = (1, 1, √7).
• Теперь найдем векторное произведение v1 и v2 для получения нормали: n = v1 x v2.

Шаг 7: Подставим все в формулу для расстояния.

• После всех вычислений, получим значение расстояния между диагоналями.

Таким образом, расстояние между большей диагональю призмы и скрещивающейся с ней диагональю боковой грани можно вычислить, используя указанные шаги и формулы. В результате мы получим окончательное значение расстояния.