2025-09-21 21:17:23
В параллелограмме ABCD, где вектор AB равен вектору a, а длина AD равна вектору b, как можно выразить вектор КР через векторы a и b, если К – это середина отрезка AD, а точка Р делит отрезок BD в отношении 1 : 3, начиная от точки B?
Геометрия 11 класс Векторы и операции с ними в геометрии параллелограмм ABCD вектор AB вектор a длина AD вектор b середина отрезка AD точка Р делит отрезок BD отношение 1:3 векторы a и b Новый
2025-09-21 21:17:41
Для решения данной задачи нам нужно выразить вектор КР через векторы a и b, используя информацию о параллелограмме ABCD и заданные условия.
Начнем с определения координат точек параллелограмма ABCD:
- A - начальная точка, можно считать ее координаты (0, 0).
- B - точка, смещенная на вектор a, т.е. B = A + a = (a_x, a_y).
- D - точка, смещенная на вектор b, т.е. D = A + b = (b_x, b_y).
- C - точка, которая получается как B + b, т.е. C = (a_x + b_x, a_y + b_y).
Теперь найдем координаты точки К, которая является серединой отрезка AD:
- Координаты точки A: (0, 0).
- Координаты точки D: (b_x, b_y).
- Координаты точки К: K = (A + D) / 2 = (0 + b_x) / 2, (0 + b_y) / 2 = (b_x / 2, b_y / 2).
Теперь найдем координаты точки Р, которая делит отрезок BD в отношении 1 : 3, начиная от точки B:
- Координаты точки B: (a_x, a_y).
- Координаты точки D: (b_x, b_y).
- Формула деления отрезка в отношении m:n: P = (n*B + m*D) / (m + n).
- В нашем случае m = 3, n = 1, поэтому:
P = (1*(a_x + b_x) + 3*(b_x)) / (1 + 3), (1*(a_y + b_y) + 3*(b_y)) / (1 + 3) = (a_x + 3*b_x) / 4, (a_y + 3*b_y) / 4.
Теперь мы можем выразить вектор КР:
- Вектор KR = P - K.
- Координаты K: (b_x / 2, b_y / 2).
- Координаты P: ((a_x + 3*b_x) / 4, (a_y + 3*b_y) / 4).
Теперь подставим значения:
- KR = ((a_x + 3*b_x) / 4 - b_x / 2, (a_y + 3*b_y) / 4 - b_y / 2).
- Упрощаем это выражение:
- KR = ((a_x + 3*b_x) / 4 - 2*b_x / 4, (a_y + 3*b_y) / 4 - 2*b_y / 4) = ((a_x + b_x) / 4, (a_y + b_y) / 4).
Таким образом, вектор КР можно выразить через векторы a и b как:
KR = (a + b) / 4.